Cho tứ diện (OABC) có cha cạnh (OA, OB, OC) đôi một vuông góc. Call (H) là chân con đường vuông góc hạ trường đoản cú (O) tới phương diện phẳng ((ABC)). Chứng minh rằng:

a) H là trực vai trung phong của tam giác (ABC);

b) (dfrac1OH^2=dfrac1OA^2+dfrac1OB^2+dfrac1OC^2.)


Phương pháp giải - Xem chi tiết

*


Lời giải đưa ra tiết

*

a) (H) là hình chiếu của (O) bên trên mp ((ABC)) cần (OH ⊥ (ABC) Rightarrow OH ⊥ BC).

Bạn đang xem: Bài 4 trang 105 sgk toán 11

Mặt khác: (OA ⊥ OB), (OA ⊥ OC)

(Rightarrow OA ⊥ (OBC) Rightarrow OA ⊥ BC)

(left{ eginarraylBC ot OH\BC ot OA\OA cap OH = Oendarray ight.) ( Rightarrow BC ot left( OAH ight))

Mà (AH subset left( OAH ight)) (Rightarrow BC ⊥ AH) (1)

Ta có: (left{ eginarraylOB ot OA\OB ot OCendarray ight. Rightarrow OB ot left( OAC ight))

Mà (AC subset left( OAC ight) Rightarrow OB ot AC)

(OH ot left( ABC ight) Rightarrow OH ot AC)

Do đó (left{ eginarraylOB ot AC\OH ot ACendarray ight. Rightarrow AC ot left( OBH ight)) ( Rightarrow AC ot BH) (2)

Từ (1) với (2) ta tất cả tam giác (ABC) có

(left{ eginarraylAH ot BC\BH ot AC\AH cap bảo hành = Hendarray ight.)

(Rightarrow H) là trực trọng điểm của tam giác (ABC).

b) Trong khía cạnh phẳng ((ABC)) hotline (E = AH ∩ BC)

(left{ eginarraylOH ot left( ABC ight)\AE subset left( ABC ight)endarray ight. Rightarrow OH ot AE)

Ta có: (left{ eginarraylOA ot left( OBC ight)\OE subset left( OBC ight)endarray ight. Rightarrow OA ot OE) ( Rightarrow Delta OAE) vuông trên (O) bao gồm đường cao (OH)

( Rightarrow dfrac1OH^2 = dfrac1OA^2 + dfrac1OE^2) (hệ thức giữa cạnh và con đường cao trong tam giác vuông (OAE))

Lại có: (left{ eginarraylBC ot left( OAH ight)\OE subset left( OAH ight)endarray ight. Rightarrow BC ot OE)

Mà (OB ot OC) nên (Delta OBC) vuông trên (O) gồm (OE) là con đường cao.

Xem thêm: Giải Bài Tập Toán Hình Lớp 11 Chương 3 Bài 1: Vectơ Trong Không Gian


( Rightarrow dfrac1OE^2 = dfrac1OB^2 + dfrac1OC^2)

Vậy (dfrac1OH^2 = dfrac1OA^2 + dfrac1OE^2)( = dfrac1OA^2 + dfrac1OB^2 + dfrac1OC^2) (đpcm).

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của bí quyết tính mặt đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: (dfrac1h^2=dfrac1b^2+dfrac1c^2 .)