Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường trực tiếp d được hotline là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với đa số đường thẳng nằm trong (α).

Bạn đang xem: Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 11

Khi đó ta còn nói (α) vuông góc với d cùng kí hiệu d

*
(α) hoặc (α)
*
d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai tuyến phố thẳng cắt nhau phía bên trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc cùng với (α).


III. TÍNH CHẤT

1. Có duy độc nhất vô nhị một phương diện phẳng đi qua một điểm đến trước cùng vuông góc với một con đường thẳng mang lại trước.

2. Có tốt nhất một đường thẳng đi qua 1 điểm cho trước với vuông góc với một khía cạnh phẳng cho trước.

IVSỰ LIÊN quan GIỮA quan HỆ VUÔNG GÓC VÀ quan HỆ song SONG

1. a) Cho hai đường thẳng tuy vậy song. Mặt phẳng nào vuông góc với mặt đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) hai tuyến đường thẳng phân minh cùng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng thì tuy nhiên song cùng với nhau.

2. a) mang đến hai khía cạnh phẳng tuy nhiên song. Đường thẳng nào vuông góc với phương diện phẳng này thì cũng vuông góc với khía cạnh phẳng kia.

b) nhì mặt phẳng khác nhau cùng vuông góc cùng với một con đường thẳng thì tuy nhiên song với nhau.

3. a) mang đến đường thẳng a với mặt phẳng (α) song song cùng với nhau. Đường thẳng như thế nào vuông góc cùng với (α) thì cũng vuông góc với

b) nếu một con đường thẳng với một phương diện phẳng (không chứa đường trực tiếp đó) thuộc vuông góc với một mặt đường thẳng không giống thì chúng tuy vậy song cùng với nhau.

V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ ba ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. Mang lại đường trực tiếp d vuông góc với khía cạnh phẳng (α). Phép chiếu tuy nhiên song theo phương d lên khía cạnh phẳng (α) được hotline là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

2. Định lí bố đường vuông góc. Mang đến đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) với b là đường thẳng không thuộc (α) mặt khác không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b bên trên (α). Lúc đó a vuông góc cùng với b khi còn chỉ khi a vuông góc cùng với b’

3. Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng

Cho mặt đường thẳng d với mặt phẳng (α). Ta gồm định nghĩa :

Nếu đường thẳng d vuông góc với khía cạnh phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa mặt đường thẳng d cùng mặt phẳng (α) bởi 90°.Nếu mặt đường thẳng d ko vuông góc với phương diện phẳng (α) thì góc thân d và hình chiếu d’ của nó trên (à) được hotline là góc giữa con đường thẳng d cùng mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng không vượt vượt 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minh đưòng trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng

1. Phương pháp giải

Muốn chứng tỏ đường trực tiếp a vuông góc với phương diện phẳng (α) người ta thường dùng một trong nhì cách tiếp sau đây :

Chứng minh con đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng giảm nhau nằm trong (α).Chứng minh con đường thẳng a tuy vậy song với đường thẳng b mà b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình vuông vắn ABCD trung tâm O và tất cả cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). điện thoại tư vấn H, I vầK lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC với SD.

a) minh chứng BC

*
(SAB), CD
*
(SAD) cùng BD
*
(SAC).

b) chứng minh SC 

*
(ẠHK) cùng điểm I thuộc (AHK).

c) chứng minh HK

*
(SAC), từ kia suy ra HK
*
AI.

Giải

a) BC 

*
AB vì đáy ABCD là hình vuông vắn (h.3.24)

BC 

*
SA do SA
*
(ABCD) và BC thuộc (ABCD).

Do kia BC

*
(SAB) vì chưng BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SAB).

Lập luận tựa như ta bao gồm CD

*
AD với CD
*
SA buộc phải CD
*
(SAD).

Ta bao gồm BD

*
AC vị đáy ABCD là hình vuông và BD
*
SA phải BD
*
(SAC). 

b) BC

*
(SAB) nhưng AH ⊂ (,SAB) đề nghị BC
*
AH và theo giả thiết SB
*
AH ta suy ra AH
*
(SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) phải AH 

*
SC.

Lập luận giống như ta chứng tỏ được AK

*
SC. Hai tuyến phố thẳng AH, AK cắt nhau và thuộc vuông góc với SC nên chúng phía bên trong mặt phẳng trải qua điểm A với vuông góc với SC. Vậy SC
*
(AHK). Ta bao gồm AI ⊂ (.AHK) vày nó đi qua điểm A và cùng vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB cùng SAD cân nhau vì chúng tất cả cạnh SA thông thường và AB AD (c.g.c). Vì thế SB = SD, SH = SK nên HK // BD.

Vì BD

*
(SAC) đề nghị HK (SAC) và bởi vì AI c= (SAC) phải HK
*
AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình thoi ABCD vai trung phong O và có SA = SC, SB = SD.

a) chứng minh so vuông góc với phương diện phẳng (ABCD).

b) hotline I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC.

Chứng minh rằng IK

*
(SBD) và IK
*
SD.

Giải

a) O là trung khu hình thoi ABCD cần O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC bao gồm SA = SC phải so

*
ÁC. Chứng minh tựa như ta gồm SO
*
BD. Từ đó ta suy ra SO
*
(ABCD).

b) vì chưng đáy ABCD là hình thoi yêu cầu AC

*
BD

Mặt khác ta gồm AC

*
SO. Cho nên vì vậy AC
*
(SBD). Ta gồm IK là con đường trung bình của tam giác BAC đề xuất IK // AC mà AC
*
(SBD) phải IK
*
(SBD).

Ta lại có SD phía trong mặt phẳng (SBD) cần IK

*
SD.

Vấn đề 2

Chứng minh hai tuyến đường thẳng vuông góc với nhau bằng phương pháp chứng minh mặt đường thẳng nàỵ vuông góc với phương diện phẳng đựng đường trực tiếp kia

1. Phương thức giảiMuốn chứng minh đường trực tiếp a vuông góc với đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng (β) chứa đường trực tiếp b làm sao để cho việc minh chứng a
*
(β) dễ dàng thực hiện.Sử dụng định lí cha đường vuông góc.2. Ví dụ

Ví dụ 1. đến tứ diện hầu như ABCD. Chứng tỏ các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Giải

Giả sử ta cần chứng tỏ AB

*
CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta gồm :

Do kia AB

*
CD vị CD phía trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được BC

*
AD với AC
*
BD.

Ví dụ 2. cho tứ diện OABC có tía cạnh OA, OB, OC song một vuông góc cùng với nhau. Kẻ OH vuông góc với phương diện phẳng (ABC) tại H. Chứng minh :

a) OA 

*
BC, OB 
*
CA với OC 
*
AB

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

*
(OBC) ⇒ OA 
*
BC (h.3.27).

Tương từ ta minh chứng

OB

*
(OCA) ⇒ OB
*
CA

OC

*
(OAB) ⇒ OC
*
AB.b) vì OH 
*
(ABC) buộc phải OH
*
BC với OA
*
BC

⇒ BC

*
(OAH) ⇒ BC
*
AH. (1)

Chứng minh giống như ta tất cả AC

*
(OBH) ⇒ AC
*
BH. (2)Từ (1) với (2) ta suy ra H là trực trung khu của tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AH và Trong tam giác AOK vuông trên O, ta bao gồm OH là đường cao. Phụ thuộc hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta có :

Vì BC vuông góc vói khía cạnh phẳng (OAH) đề nghị BC _L OK. Vị đố trong tam giác OBC vuông trên o với mặt đường cao OK ta có :

Ví dụ 3. Hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD và có lân cận SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy. Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp đã mang lại là phần nhiều tam giác vuông.

Giải

SA

*
AB với SA
*
AD (h.3.28).

Vậy những tam giác SAB và SAD là các tam giác vuông trên A.

Vậy tam giác SDC vuông trên D với tam giác SBC vuông trên B.

Chú thích. Muốn chứng minh tam giác SDC vuông tại D ta rất có thể áp dụng định lí tía đường vuông góc và lập luận như sau

Đường thẳng SD tất cả hình chiếu vuông góc xung quanh phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí cha đường vuông góc bởi vì CD

*
AD nên CD
*
SD với ta bao gồm tam giác SDC vuông tại D.

Tương tự, ta minh chứng được CB

*
SB và ta bao gồm tam giác SBC vuông tại B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn trực tiếp AB không vuông góc với khía cạnh phẳng (α) giảm mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn trực tiếp đó. Các đường thẳng vuông góc cùng với (α) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng (α) tại A’ cùng B’.

Chứng minh cha điểm A’, O, B’ thẳng hàng và AA’ = BB’.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17. Cho tam giác gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với mặt đường thẳng CA trên A và (β) là phương diện phẳng vuông góc với con đường thẳng CB trên B. Chứng minh rằng nhì mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến d của bọn chúng vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC).

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. Hotline H là trực trung khu của tam giác ABC và hiểu được A’H vuông góc với phương diện phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

a )AA’

*
BC và lAA’
*
B’C’.

b) điện thoại tư vấn MM’ là giao tuyến đường của mặt phẳng (ẠHA’) cùng với mặt mặt BCC’B’ trong số ấy M ∈ BC với M’ ∈ B’C’. Minh chứng rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật cùng MM’ là mặt đường cao của hình chữ nhật đó.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC gồm đáy ABC là tam giác vuông tại A và có canh bên SA vuông góc với khía cạnh phẳng lòng là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Chứng minh rằng CD

*
CA và CD
*
(SCA).

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.20. Hai tam giác cân nặng ABC cùng DBC phía bên trong hai mặt phẳng không giống nhau có tầm thường cạnh đáy BC tạo cho tứ diện điện thoại tư vấn I là trung điểm của cạnh BC.

a) chứng tỏ BC

*
AD

b) gọi AH là con đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói mặt phẳng (BCD).

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

Xem thêm: Camera Ptz Là Gì ? Có Những Loại Camera Ptz Nào

3.21. Chứng minh rằng tập hợp đầy đủ điểm phương pháp đều bố đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với phương diện phẳng (ABC) tại chổ chính giữa O của mặt đường tròn (C) nước ngoài tiếp tam giác ABC đó.