Giới hạn hàm số hay thường call là giới hạn của hàm số – Là loài kiến thức quan trọng đặc biệt của toán 11 nằm trong bậc THPT. Để học tốt phần này các bạn cần làm rõ lý thuyết, biết cách áp dụng linh hoạt các dạng vào giải bài bác tập.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11


1. Triết lý giới hạn hàm số

1.1 giới hạn của hàm số trên một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): đưa sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x cùng y = f (x) là 1 trong những hàm số khẳng định trên một khoảng (a; b), hoàn toàn có thể trừ ở 1 điểm x. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L lúc x dần cho x (hoặc trên điểm x ) nếu với mọi dãy số (xn) vào tập thích hợp (a; b) x nhưng mà lim xn = x ta đều phải có lim f (xn) = L lúc đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x

Từ định nghĩa, ta có những kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) xác minh tại điểm x thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): giả sử (a; b) là một trong những khoảng cất điểm x cùng y = f (x) là 1 trong hàm số xác minh trên một khoảng tầm (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại một điểm x. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần cho x (hoặc trên điểm x ) nếu với tất cả dãy số (xn) trong tập vừa lòng (a; b) x nhưng lim xn = x


ta đều phải có limf(xn)= ±∞

Khi kia ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ lúc x → x

1.2 số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Trả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng tầm (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L lúc x dần mang đến +∞ nếu với đa số dãy số (xn) vào tập đúng theo (a; +∞) mà lại lim xn = +∞

ta đều có lim f (xn) = L

*


1.3 một vài định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

Sau đây là 3 định lý quan trọng về giới hạn hữu hạn hàm số

*

1.4 số lượng giới hạn một bên

Đề tìm số lượng giới hạn bên nên hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta phụ thuộc lý thuyết quan trọng đặc biệt sau

*

1.5 một số quy tắc tìm số lượng giới hạn vô cực

Sau đó là 2 Quy tắc đặc biệt quan trọng đề tìm giới hạn vô cực bạn phải nhớ

*


1.6 những dạng vô định

*

2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số

Dạng 1. áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số search giới hạn

Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, quan niệm 3.

Bài tập 1. thực hiện định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

*

Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ ko tồn tại

Ta tiến hành theo quá trình sau:

*

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$


Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Lựa chọn hai hàng số xn và yn với:

*

Dạng 3. Các định lí về số lượng giới hạn và giới hạn cơ phiên bản để kiếm tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm số lượng giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của không ít hàm số mà ta đã biết giới hạn.

Xem thêm: Toán Lớp 5, Giải Bài Toán Lớp 5 Bài Tập Toán Lớp 5 Hay Nhất, Giải Toán Lớp 5

Ta có công dụng sau:

*

Cách 2: Sử dụng nguyên tắc kẹp giữa, rõ ràng Giả sử bắt buộc tính số lượng giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện quá trình sau:

*

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác định tại điểm x thì giới hạn của nó lúc x → x có mức giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ có f(x) ≠ 0 và g(x) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x có giá trị bởi ∞.Trong trường phù hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ gồm f(x) = 0 (tức tất cả dạng $frac00$)Chúng ta buộc phải sử dụng các phép đổi khác đại số nhằm khử dạng $frac00$, và thông thường là làm lộ diện nhân tử bình thường (x − x)

Dạng 4. Tính số lượng giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng những định lí với chú ý sau:

x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x với x > x ( lúc ấy |x − x| = x − x ).x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x với x ( khi đó |x − x| = x − x)

Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của những giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracleftx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – frac 3x – 6 ightx – 2$

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$


b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, nếu như hàm số f(x) không xác minh tại điểm x thì số lượng giới hạn một bên của nó không không giống so với giới hạn tại x

Dạng 5. Số lượng giới hạn của hàm số số kép

*

Bài tập 5. đến hàm số

*

Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ với $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải

*

Dạng 6. Một vài ba qui tắc tính giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản chất của việc khử dạng không xác định $frac00$ là làm mở ra nhân tử thông thường để:

Hoặc là khử nhân tử chung để mang về dạng xác địnhHoặc là thay đổi về dạng giới hạn cơ bản, thân quen đã biết tác dụng hoặc biết cách giả

*

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞

a) Đối cùng với dạng 0.∞ với ∞ ta lựa chọn 1 trong hai giải pháp sau

Cách 1: áp dụng phương pháp đổi khác để tận dụng các dạng số lượng giới hạn cơ bản

Cách 2: thực hiện nguyên lí kẹp giữa với những bước

*

b) Đối cùng với dạng 1∞ buộc phải nhớ các giới hạn cơ bạn dạng sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên đây là bài viết chia sẻ cách tìm giới hạn hàm số và những dạng bài bác tập thường gặp. Bài tới ta vẫn học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.

Mọi vướng mắc bạn vui miệng để lại bình luận bên dưới để Toán học tập giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn làm việc tập hiệu quả