Bài viết trình bày lý thuyết và phương thức giải những dạng toán phép đối xứng trục trong công tác Hình học tập 11 chương 1. Kiến thức và những ví dụ trong bài viết được tìm hiểu thêm từ các tài liệu phép dời hình và phép đồng dạng trong phương diện phẳng được chia sẻ trên jenincity.com.

Bạn đang xem: Bài tập phép đối xứng trục có lời giải

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Định nghĩa phép đối xứng trục:• đến đường thẳng $d$. Phép phát triển thành hình đổi mới mỗi điểm $M$ nằm trong $d$ thành chính nó, phát triển thành mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M’$ làm sao để cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM’$ được hotline là phép đối xứng qua mặt đường thẳng $d$, hay còn gọi là phép đối xứng trục $d$, ký kết hiệu $Đ_d.$

*

• $Đ_dleft( M ight) = M’$ $ Leftrightarrow overrightarrow IM = – overrightarrow IM’ .$• Nếu $Đ_dleft< left( H ight) ight> = left( H ight)$ thì $d$ được hotline là trục đối xứng của hình $left( H ight)$.2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:Trong mặt phẳng $Oxy$ với từng điểm $Mleft( x;y ight)$, gọi $M’left( x’;y’ ight) = Đ_dleft( M ight).$• trường hợp $d$ là trục $Ox$ thì $left{ eginarraylx’ = x\y’ = – yendarray ight.$• Nếu $d$ là trục $Oy$ thì $left{ eginarraylx’ = – x\y’ = yendarray ight.$3. đặc thù phép đối xứng trục:• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.• thay đổi một đường thẳng thành con đường thẳng.• biến chuyển một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bởi đoạn thẳng đã cho.• biến chuyển một tam giác thành tam giác bởi tam giác sẽ cho.• đổi mới đường tròn thành mặt đường tròn gồm cùng phân phối kính.

B. CÁC DẠNG TOÁN PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤCDạng toán 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trụcPhương pháp: Để xác định ảnh $left( H’ ight)$ của hình $left( H ight)$ qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong những cách sau:• sử dụng định nghĩa phép đối xứng trục.• cần sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục nhưng trục đối xứng là các trục tọa độ $Ox$, $Oy.$• cần sử dụng biểu thức vectơ của phép đối xứng trục.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $Mleft( 1;5 ight)$, đường thẳng $d:x + 2y + 4 = 0$ và con đường tròn $left( C ight):x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0.$a. Tìm ảnh của $M$, $d$ và $left( C ight)$ qua phép đối xứng trục $Ox.$b. Tìm ảnh của $M$ qua phép đối xứng qua mặt đường thẳng $d.$

a. Gọi $M’$, $d’$, $left( C’ ight)$ theo lắp thêm tự là hình ảnh của $M$, $d$, $left( C ight)$ qua phép đối xứng trục $Đ_Ox.$• Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục $Ox$, suy ra: $M’left( 1; – 5 ight).$• Tìm ảnh của đường thẳng $d$:Lấy $Nleft( x;y ight) in d$ $ Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ $(1).$Gọi $N’left( x’;y’ ight)$ là hình ảnh của $N$ qua phép đối xứng $Đ_Ox.$Ta có: $left{ eginarraylx’ = x\y’ = – yendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’\y = – y’endarray ight.$Thay vào $left( 1 ight)$ ta được: $x’ – 2y’ + 4 = 0.$Vậy $d’:x – 2y + 4 = 0.$• Tìm ảnh của mặt đường tròn $left( C ight):$Cách 1:Đường tròn $left( C ight)$ có trọng tâm $Ileft( – 1;2 ight)$ và cung cấp kính $R = 3.$Gọi $I’,R’$ là trung khu và bán kính của $left( C’ ight)$ thì $I’left( – 1; – 2 ight)$ và $R’ = R = 3$.Do đó $left( C’ ight): left( x + 1 ight)^2 + left( y + 2 ight)^2 = 9.$Cách 2:Lấy $Pleft( x;y ight) in left( C ight)$ $ Rightarrow x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ $left( 2 ight).$Gọi $P’left( x’;y’ ight)$ là ảnh của $P$ qua phép đối xứng $Đ_Ox.$Ta có: $left{ eginarraylx’ = x\y’ = – yendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarraylx = x’\y = – y’endarray ight.$Thay vào $left( 2 ight)$, ta được: $x‘^2 + y‘^2 + 2x’ + 4y’ – 4 = 0.$Vậy $left( C’ ight):x^2 + y^2 + 2x + 4y – 4 = 0.$

*

b. Đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $2x – y + 3 = 0.$Gọi $I = d cap d_1$ thì tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ eginarraylx + 2y + 4 = 0\2x – y + 3 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = – 2\y = – 1endarray ight.$ $ Rightarrow Ileft( – 2; – 1 ight).$Gọi $M’$ đối xứng với $M$ qua $d$ thì $I$ là trung điểm của $MM’$.Ta có $left{ eginarraylx_I = fracx_M + x_M’2\y_I = fracy_M + y_M’2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx_M’ = 2x_I – x_M = – 5\y_M’ = 2y_I – y_M = – 7endarray ight.$ $ Rightarrow M’left( – 5; – 7 ight).$Vậy hình ảnh của $M$ qua phép đối xứng con đường thẳng $d$ là điểm $M’left( – 5; – 7 ight).$

Ví dụ 2. Cho hai tuyến phố thẳng $d:x + y – 2 = 0$, $d_1:x + 2y – 3 = 0$ và con đường tròn $left( C ight):left( x – 1 ight)^2 + left( y + 1 ight)^2 = 4.$ Tìm hình ảnh của $d_1$, $left( C ight)$ qua phép đối xứng trục $d.$

• Tìm hình ảnh của $d_1:$Ta có: $d_1 cap d = Ileft( 1;1 ight)$ nên $Đ_dleft( I ight) = I.$Lấy $Mleft( 3;0 ight) in d_1$.Đường trực tiếp $d_2$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 3 = 0.$Gọi $M_0 = d cap d_2$, thì tọa độ của $M_0$ là nghiệm của hệ $left{ eginarraylx + y – 2 = 0\x – y – 3 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = frac52\y = – frac12endarray ight.$ $ Rightarrow M_0left( frac52; – frac12 ight).$Gọi $M’$ là hình ảnh của $M$ qua $Đ_d$ thì $M_0$ là trung điểm của $MM’$ nên $M’left( 2; – 1 ight).$Gọi $d_1’ = Đ_dleft( d_1 ight)$ thì $d_1’$ đi qua $I$ và $M’$ nên có phương trình $fracx – 11 = fracy – 1 – 2$ $ Leftrightarrow 2x + y – 3 = 0.$Vậy $d_1’:2x + y – 3 = 0.$• Tìm hình ảnh của $left( C ight):$Đường tròn $left( C ight)$ có tâm $Jleft( 1; – 1 ight)$ và buôn bán kính $R = 2.$Đường trực tiếp $d_3$ đi qua $J$ và vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 2 = 0.$Gọi $J_0 = d_3 cap d$ thì tọa độ của điểm $J_0$ là nghiệm của hệ:$left{ eginarraylx + y – 2 = 0\x – y – 2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = 2\y = 0endarray ight.$ $ Rightarrow J_0left( 2;0 ight).$Gọi $J’ = Đ_dleft( J ight)$ thì $J_0$ là trung điểm của $JJ’$ nên $J’left( 3;1 ight).$Gọi $left( C’ ight) = Đ_dleft( left( C ight) ight)$ thì $J’$ là trung ương của $left( C’ ight)$ và nửa đường kính của $left( C’ ight)$ là $R’ = R = 2.$Vậy $left( C’ ight):left( x – 3 ight)^2 + left( y – 1 ight)^2 = 4.$Dạng toán 2. Cần sử dụng phép đối xứng trục để giải các bài toán dựng hìnhPhương pháp: Để dựng một điểm $M$ ta tra cứu cách khẳng định nó như là hình ảnh của một điểm đã biết sang một phép đối xứng trục, hoặc xem $M$ như thể giao điểm của một đường cố định và một với hình ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục.

Ví dụ 3. Dựng hình vuông vắn $ABCD$ biết nhì đỉnh $A$ cùng $C$ nằm trên đường thẳng $d_1$ cùng hai đỉnh $B, D$ theo thứ tự thuộc hai đường thẳng $d_2,d_3$.

*

Phân tích:Giả sử vẫn dựng được hình vuông $ABCD$ thỏa đk của bài xích toán.Do $A,C in d_1$ và $AC$ là trục đối xứng của hình vuông $ABCD$, khoác khác $B in d_2$ nên $D in d_2’$, trong đó $d_2’$ là đường thẳng đối xứng với $d_2$ qua $d_1.$ Suy ra: $D = d_2’ cap d_3.$Hai điểm $B,D$ đối xứng qua đường thẳng $d_1$ nên $Đ_d_1left( D ight) = B.$Cách dựng:+ Dựng $d_2’ = Đ_d_1left( d_2 ight)$, gọi $D = d_3 cap d_2’.$+ Dựng đường thẳng qua $D$ vuông góc với $d_1$ tại $O$ và cắt $d_2$ tại $B.$+ Dựng đường tròn tâm $O$ đường kính $BD$ cắt $d_1$ tại $A,C$ ($A,C$ theo trang bị tự để tạo thành tứ giác $ABCD$).Chứng minh: Từ biện pháp dựng suy ra $ABCD$ là hình vuông.Nhận xét:Trường phù hợp 1: $d_2$ cắt $d_3$, khi đó:+ nếu $d_2’ cap d_3$ thì bài toán có một nghiệm hình.+ Nếu $d_2’parallel d_3$ thì vấn đề vô nghiệm hình.Trường phù hợp 2: $d_2parallel d_3$, lúc đó:+ Nếu $d_1$ tuy vậy song và cách đều $d_2$ và $d_3$ thì vấn đề có rất nhiều nghiệm hình.

*

+ Nếu $d_1$ phù hợp với $d_2,d_3$ một góc $45^circ $ thì câu hỏi có một nghiệm hình.

*

+ Nếu $d_1$ tuy vậy song với không phương pháp đều $d_2,d_3$ hoặc $d_1$ chưa phù hợp $d_2,d_3$ một góc $45^circ $ thì lấy ví dụ đã cho vô nghiệm hình.

Ví dụ 4. Cho hai đường tròn $left( C ight),left( C’ ight)$ có chào bán kính không giống nhau và đường thẳng $d$. Hãy dựng hình vuông $ABCD$ gồm hai đỉnh $A,C$ theo lần lượt nằm trên $left( C ight),left( C’ ight)$ và hai đỉnh còn lại nằm bên trên $d$.

*

Phân tích:Giả sử vẫn dựng được hình vuông $ABCD$.Ta thấy nhì đỉnh $B,D in d$ nên hình vuông vắn hoàn toàn xác minh khi biết $C$.Ta gồm $A,C$ đối xứng qua $d$ nên $C$ thuộc con đường tròn $left( C_1 ight)$ là ảnh của mặt đường tròn $left( C ight)$ qua $Đ_d.$Mặt khác $C in left( C’ ight)$ $ Rightarrow C in left( C_1 ight) cap left( C’ ight).$Cách dựng:+ Dựng con đường tròn $left( C_1 ight)$ là hình ảnh của $left( C ight)$ qua $Đ_d.$+ Gọi $C$ là giao điểm của $left( C_1 ight)$ và $left( C’ ight).$+ Dựng điểm $A$ đối xứng với $C$ qua $d.$+ Gọi $I = AC cap d.$ Lấy trên $d$ hai điểm $BD$ sao cho $IB = ID = IA.$Khi kia $ABCD$ là hình vuông cần dựng.Chứng minh:Dễ thấy $ABCD$ là hình vuông vắn có $B,D in d$, $C in left( C’ ight).$Mặt khác $A,C$ đối xứng qua $d$ mà $C in left( C’ ight)$ $ Rightarrow A in Đ_dleft< left( C’ ight) ight> = left( C ight)$ hay $A$ thuộc $left( C ight).$Nhận xét: Số nghiệm hình ngay số giao điểm của $left( C_1 ight)$ và $left( C’ ight)$.

Dạng toán 3. Dùng phép đối xứng trục nhằm giải những bài tập hòa hợp điểmPhương pháp: Nếu $M’ = Đ_dleft( M ight)$ với $M$ di động trên hình $left( H ight)$ thì $M’$ di động trên hình $left( H’ ight)$ là ảnh của hình $left( H ight)$ qua phép đối xứng trục $d$.

Ví dụ 5. Trên phố tròn $left( O,R ight)$ mang đến hai điểm cố định $A,B$. Đường tròn $left( O’;R’ ight)$ tiếp xúc ngoài với $left( O ight)$ tại $A$. Một điểm $M$ di động trên $left( O ight)$. $MA$ giảm $left( O’ ight)$ trên điểm sản phẩm công nghệ hai $A’$. Qua $A’$ kẻ đường thẳng tuy vậy song cùng với $AB$ cắt $MB$ trên $B’$. Tìm kiếm quỹ tích lũy $B’.$

*

Gọi $C = A’B’ cap left( O’ ight).$ Vẽ tiếp tuyến chung của $left( O ight)$ và $left( O’ ight)$ tại điểm $A.$Ta có: $widehat A’CA = widehat xAM$ $ = widehat ABM = widehat BB’A’$ do đó $ABB’C$ là hình thang cân.Gọi $d$ là trục đối xứng của hình thang này thì $Đ_dleft( C ight) = B’$ mà $C$ di động trê tuyến phố tròn $left( O’ ight)$ nên $B’$ di động trên phố tròn $left( O” ight)$ là ảnh của $left( O’ ight)$ qua $Đ_d.$

Ví dụ 6. Mang đến tam giác $ABC$ tất cả tâm đường tròn nội tiếp $I$, $P$ là 1 điểm phía bên trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ là những điểm đối xứng với $P$ thứu tự đối xứng qua $IA,IB,IC$. Minh chứng các đường thẳng $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Xem thêm: Web 2 - Website 2

*

Giả sử điểm $P$ nằm trong tam giác $IAB$. Gọi $P_1,P_2,P_3$ theo lần lượt đối xứng cùng với $P$ qua những cạnh $BC,CA,AB$. Ta sẽ chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy tại trọng điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác $P_1P_2P_3$.Hiển nhiên ta có $AP_2=AP_3$ vậy để chứng tỏ $AA’$ là trung trực của $P_2P_3$ ta cần chứng tỏ $widehatP_2AA’=widehatP_3AA’$.Ta có: $widehat P_3AA’$ $ = widehat P_3AP + widehat PAA’$ $ = 2alpha + 2eta .$Tương trường đoản cú $widehat P_2AA’$ $ = widehat P_2AC + widehat CAA’$ $ = widehat CAP + widehat CAA’$ $ = 2alpha + 2eta .$Vậy $widehat P_2AA’ = widehat P_3AA’$ nên $AA’$ là trung trực của $P_2P_3.$Tương tự $BB’,CC’$ theo lần lượt là trung trực của $P_1P_3$ và $P_1P_2$ cần chúng đồng quy tại trung ương đường tròn ngoại tiếp tam giác $P_1P_2P_3$.