Hướng dẫn học sinh phương pháp viết phương trình mặt phẳng, một dạng toán cơ bản trong chương trình Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình mặt phẳng

A. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ

Trong không khí Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(α;β;γ) và có vecto pháp tuyến n(a;b;c). Lúc đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình tổng quát lác là: a(x-α)+b(y-β)+c(z-γ)=0.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) nhận véc tơ n(4;2;5) là véc tơ pháp tuyến.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x-1)+2(y-2)+5(z-3)=0

⇔4x+2y+5z-23=0.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Phương pháp:Giả sử (P) là mặt phẳng trung trực của đoanh AB. Ta xác định yếu tố điểm cơ mà (P) đi qua đó là trung điểm AB. Còn vecto pháp tuyến chính là vecto AB.

Ví dụ 1: Trong không khí Oxyz, mang đến điểm $A(2;1;3)$ với điểm $B(4;-2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Điểm $Ileft(2 ;-dfrac12 ; 3 ight)$ là trung điểm của đoạn $A B$ và $I in(P)$. $overrightarrowA B=(2 ;-3 ; 0)$ là một véc tơ pháp tuyến của $(P)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$2(x-2)-3left(y+dfrac12 ight)+0(z-3)=0$

$Leftrightarrow 2 x-3 y-dfrac112=0$

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm đến trước

Phương pháp:Giả sử mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng sản phẩm A, B, C. Để tìm kiếm yếu tố véc tơ pháp tuyến bọn họ lấy tích bao gồm hướng của véc tơ AB với véc tơ AC.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-2;3), điểm B(0;-2;4) với điểm C(4;1;3). Viết PT mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: $overrightarrowA B=(-2 ; 0 ; 1), overrightarrowA C=(2 ; 3 ; 0)$.

Vậy $vecn=overrightarrowA B wedge overrightarrowA C=(-3 ; 2 ;-6)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$.

Do đó phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là:

$-3(x-2)+2(y+2)-6(z-3)=0$

$Leftrightarrow-3 x+2 y-6 z+28=0$

*Lưu ý về biện pháp viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Trong không khí $O x y z$, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a b c eq 0$ là:

$dfracxa+dfracyb+dfraczc=1$

3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm vuông góc với 2 mặt phẳng đến trước

Phương pháp: Giả sử ta cần viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A cùng vuông góc với (P), (Q). Yếu tố điểm đã gồm là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến chính là tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến của (P) với (Q).

*

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, đến điểm A(1;2;3) và những mặt phẳng (P):x+y+z-3=0, (Q): 2x-y+3z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A vuông góc với mặt phẳng (P) với (Q).

Lời giải:

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $overrightarrown_p=(1 ; 1 ; 1)$.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $overrightarrown_Q=(2 ;-1 ; 3)$.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$ là $overrightarrown_R=overrightarrown_p wedge overrightarrown_Q=(4 ;-1 ;-3)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ là

$4(x-1)-(y-2)-3(z-3)=0 Leftrightarrow 4 x-y-3 z+7=0$

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với đường thẳng mang đến trước

Phương pháp:Giả sử ta cần viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. Yếu tố điểm đã có là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.

Ví dụ 4: Trong không gian $O x y z$, đến điểm $M(1 ;-2 ; 2)$ với đường thẳng $Delta: dfracx2=dfracy-13=dfracz+2-1$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ với vuông góc với đường thẳng $Delta$.

Lời giải:

Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$ là $vecu=(2 ; 3 ;-1)$. Đây cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Xem thêm: Giải Bài Tập Giới Hạn Của Hàm Số Lớp 11: Lý Thuyết, Công Thức, Bài Tập

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2 x+3 y-z+6=0$.