Quy tắc cùng và phép tắc nhân là nhì quy tắc đếm đặc trưng các em bắt buộc phải hiểu rõ vì đấy là kiến thức các đại lý giúp những em dễ dàng tiếp thu nội dung về tổ hợp và xác suất.

Bạn đang xem: Bài tập về quy tắc đếm


Vậy quy tắc cộng và luật lệ nhân được tuyên bố như nào? bọn họ cùng mày mò qua nội dung bài viết dưới đây, mặt khác giải những bài tập vận dụng hai nguyên tắc đếm này để tiện lợi ghi nhớ văn bản quy tắc.

I. Kiến thức và kỹ năng cần ghi nhớ về phép tắc cộng, quy tắc nhân

1. Luật lệ cộng

* trả sử một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k giải pháp A1, A2, . . . , Ak. Nếu:

 - cách thực hiện A1 rất có thể làm bằng n1 cách.

 - cách thực hiện A2 có thể làm bằng n2 cách.

 ...

 - cách thực hiện Ak có thể làm bằng nk cách.

 Khi đó, cả quá trình có thể triển khai theo  cách.

2. Phép tắc nhân

* Giả sử một các bước có thể thực hiện theo một trong những k công đoạn A1, A2, . . . , Ak. Nếu:

 - Công đoạn A1 có thể làm bởi n1 cách.

 - Công đoạn A2 có thể làm bằng n2 cách.

 ...

 - Công đoạn Ak có thể làm bằng nk cách.

 Khi đó, cả quá trình có thể triển khai theo  cách.

(Hiểu đối chọi giản: 1 công việc hoàn thành khi thực hiện k hành động liên tiếp)

II. Những dạng bài tập nguyên tắc đếm

* Dạng 1: Đếm số phương án sử dụng các quy tắc đếm

* phương thức giải:

 ¤ Để thực hiện quy tắc cùng trong câu hỏi đếm, ta thực hiện theo quá trình sau:

• Bước 1: Phân tích các phương án thành k nhóm chủ quyền với nhau: A1, A2, . . . , Ak.

• Bước 2: Nếu:

 - phương án A1 có thể làm bởi n1 cách.

 - phương án A2 có thể làm bởi n2 cách.

 ...

 - giải pháp Ak có thể làm bởi nk cách.

 • Bước 3: lúc đó, cả quá trình có thể tiến hành theo  cách.

 ¤ Để áp dụng quy tắc nhân trong việc đếm, ta thực hiện theo công việc sau:

Bước 1: so sánh một hành động H thành k công việc nhỏ dại liên tiếp: A1, A2, . . . , Ak. 

Bước 2: Nếu:

 - A1 có n1 cách thực hiện khác nhau.

 - A2 có n2 cách triển khai khác nhau.

 ...

 - Ak có nk cách tiến hành khác nhau.

Bước 3: Khi đó, ta có tất cả  cách.

* ví dụ 1 (Bài 3 trang 46 SGK Đại số 11): Dưới tp A, B, C, D được nối với nhau bởi các con mặt đường như hình sau:

*
Hỏi:

a) bao gồm bao nhiêu cách đi từ A mang lại D cơ mà qua B cùng C chỉ một lần?

b) gồm bao nhiêu bí quyết đi tự A mang lại D rồi trở về A?

° Lời giải:

a) câu hỏi đi tự A cho D là các bước được ngừng bởi ba hành động liên tiếp:

+ Đi trường đoản cú A đến B: tất cả 4 con đường.

+ Đi trường đoản cú B mang lại C: có 2 con đường.

+ Đi từ bỏ C cho D: bao gồm 3 con đường

⇒ Theo luật lệ nhân: bao gồm 4.3.2 = 24 tuyến phố đi tự A mang lại D nhưng chỉ trải qua B với C 1 lần.

b) tất cả 24 cách đi trường đoản cú A mang đến D thì cũng có 24 cách đi trường đoản cú D đến A.

 Việc đi từ bỏ A mang đến D rồi lại trở lại A là quá trình được chấm dứt bởi 2 hành động liên tiếp:

+ Đi từ A cho D: bao gồm 24 cách .

+ Đi trường đoản cú D về A : bao gồm 24 cách

⇒ Theo quy tắc nhân: gồm 24.24 = 576 bí quyết đi.

* ví dụ như 2 (Bài 4 trang 46 SGK Đại số 11): Có tía kiểu mặt đồng hồ đeo tay đeo tay (vuông, tròn, elip) và tứ kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt cùng một dây?

° Lời giải:

 Việc lựa chọn 1 chiếc đồng hồ thời trang cần thực hiện 2 hành động liên tiếp:

+ chọn mặt đồng hồ: gồm 3 giải pháp chọn.

+ chọn dây đồng hồ: bao gồm 4 bí quyết chọn.

⇒ Theo phép tắc nhân: có 3.4 = 12 biện pháp chọn đồng hồ.

* lấy ví dụ như 3: Có 18 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi bao gồm bao nhiêu giải pháp trao 3 loại huy chương vàng, bạc,đồng đến 3 đội nhất, nhì, ba biết rằng từng đội rất có thể nhận nhiều nhất một huy chương và độinào cũng có khả năng đạt huy chương.

° Lời giải:

 Để tuyển lựa trao 3 tấm huy chương mang đến 3 trong 18 team ta triển khai 3 hành vi liên tiếp sau:

- chọn một đội nhằm trao huy chương tiến thưởng ta có: 18 lựa chọn

- lựa chọn 1 đội nhằm trao huy chương bạc ta có: 17 gạn lọc (vì đã tiết kiệm hơn đội được trao HCV)

- lựa chọn 1 đội nhằm trao huy chương đồng ta có: 16 lựa (vì đã ngắn hơn đội được trao HCV, HCB)

⇒ Vậy theo quy tắc nhân: gồm 18.17.16 = 4896 cách.

* lấy ví dụ 4: vào một trường THPT, khối 11 gồm 280 học viên nam và 325 học viên nữ.

a) đơn vị trường cần chọn một học sinh khối 11 để đi dự đại hội của học sinh thành phố. Hỏi công ty trường gồm bao nhiêu biện pháp chọn?

b) bên trường yêu cầu chọn hai học viên khối 11 trong đó có một nam cùng một nàng đi dự trại hè của học sinhthành phố. Hỏi nhà trường bao gồm bao nhiêu bí quyết chọn?

° Lời giải:

a) Để lựa chọn một học sinh đi dự đại hội của học sinh thành phố ta có thể chọn học sinh nam và học sinh nữ:

- Nếu lựa chọn một học sinh phái nam ta có 280 cách.

- Nếu lựa chọn 1 học sinh đàn bà ta tất cả 325 cách.

→ Vậy theo qui tắc cộng, ta bao gồm 280 + 325 = 605 cách chọn. 

b) Để lựa chọn 2 học sinh trong đó gồm một nam và một bạn nữ đi dự trại hè của học viên thành phố ta cần triển khai 2 hành vi liên tiếp sau:

- lựa chọn một học sinh nam giới trong 280 học sinh: gồm 280 lựa chọn

- chọn một học sinh thanh nữ trong 325 học sinh: tất cả 325 lựa chọn

→ Vậy theo phép tắc nhân: Có 280.325 = 91000 cách.

* Dạng 2: Sử dụng những quy tắc đếm giải câu hỏi đếm những số hiện ra từ tập A

* phương pháp giải:

1. Sử dụng nguyên tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số những số bao gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta thực hiện quá trình sau:

• Bước 1: gọi số phải tìm tất cả dạng 

*
 với 
*

• Bước 2: Đếm số cách chọn ai, (không tốt nhất thiết bắt buộc theo sản phẩm công nghệ tự) mang sử tất cả ni cách.

• Bước 3: lúc đó, ta tất cả tất cả  cách.

2. Sử dụng quy tắc cùng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số tất cả k chữ số hiện ra từ tập A, ta tiến hành theo công việc sau:

• Bước 1: Chia những số cần tìm thành các tập con H1, H2, ... Hòa bình với nhau

• Bước 2: sử dụng quy tắc nhân nhằm đếm số phần từ của những tập H1, H2, ..., mang sử bởi k1, k2,...

• Bước 3: lúc đó, ta có tất cả 

*
 số.

* ví dụ 1 (Bài 1 trang 46 SGK Đại số 11): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 rất có thể lập được từng nào số tự nhiên và thoải mái gồm:

a) Một chữ số

b) hai chữ số.

c) nhì chữ số kháu nhau?

° Lời giải:

a) hotline số có 1 chữ số là a

- lựa chọn a bao gồm 4 cách chọn.

→ Vậy tất cả 4 giải pháp chọn số một chữ số.

b) call số có 2 chữ số phải lập là 

*

- hành động 1: chọn a ta tất cả 4 giải pháp chọn

- hành động 2: lựa chọn b ta gồm 4 phương pháp chọn

→ Vậy theo quy tắc nhân ta có: 4.4 = 16 (cách lập)

c) call số có 2 chữ số đề nghị lập là 

*

- hành vi 1: chọn c ta có 4 phương pháp chọn

- hành vi 2: chọn d ta bao gồm 3 bí quyết chọn (vì d không giống c).

Xem thêm: Giải Toán Lớp 4 Trang 152 Luyện Tập Chung, Giải Bài 1, 2, 3, 4, 5 Trang 152 Sgk Toán 4

→ Vậy theo luật lệ nhân ta có: 4.3 = 12 (cách lập).

* lấy ví dụ như 2 (Bài 2 trang 46 SGK Đại số 11): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?