Đạo hàm là quan niệm quan trọng bậc nhất của Giải tích học, nó xuất hiện trong đa số các dạng toán sinh sống phân môn Giải tích trong chương trình càng nhiều và có rất nhiều ứng dụng thực tế trongcuộc sống. Nội dung bài học sẽ bước đầu giúp các em mày mò về khái niệm cùng ý nghĩa của đạo hàm thuộc với những dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa, viết phương trình tiếp đường của đồ thị hàm số đi kèm là hầu hết ví dụ minh họa có hướng dẫn giải cụ thể sẽ giúp các em cầm được phương thức làm bài.

Bạn đang xem: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm


1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đạo hàm trên một điểm

1.2. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

2. Bài bác tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 1 chương 5 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về Định nghĩa và ý nghĩa sâu sắc của đạo hàm

3.2. Bài tập SGK & cải thiện vềĐịnh nghĩa và ý nghĩa sâu sắc của đạo hàm

4.Hỏi đáp vềbài 1 chương 5 giải tích 11


*

a) Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x))xác định trên khoảng ((a;b))và (x_0 in (a;b)), đạo hàm của hàm số trên điểm (x_0)là:(f"(x_0) = mathop lim limits_x o x_0 fracf(x) - f(x_0)x - x_0.)

b) Chú ý

Nếu kí hiệu(Delta x = x - x_0;,,Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0))thì:

(f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) - f(x_0)x - x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) - f(x_0)x - x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

Nếu hàm số(y=f(x))có đạo hàm tại(x_0)thì liên tiếp tại điểm đó.

Để minh chứng hàm số không có đạo hàm tại điểm(x_0)ta triển khai như sau:

Chứng minh(mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) - f(x_0)x - x_0)không tồn tại.Hoặc chứng tỏ hàm số không thường xuyên tại(x_0.)c) các bước tính đạo hàm bằng định nghĩaTính(Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0) = f(x) - f(x_0))Lập tỷ số:(fracDelta yDelta x.)Tính(mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm


a) Ý nghĩa hình học

Cho hàm số(y=f(x))có đồ vật thị (C):

(f"(x_0))là thông số góc của tiếp con đường đồ thị (C) của hàm số(y=f(x))tại(M_0(x_0;y_0) in (C).)Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số(y=f(x))tại(M_0(x_0;y_0) in (C))là:

(y = f"(x_0).(x - x_0) + y_0)

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của thứ thị (C) trên điểm(M_0(x_0;y_0) in (C):)

Bước 1: Tính(f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) - f(x_0)x - x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) - f(x_0)x - x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp con đường với thiết bị thị (C) tại(M_0)là(k=f"(x_0))

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến đường với vật thị (C) trên điểm(M_0(x_0;y_0) in (C))là:(y = f"(x_0).(x - x_0) + y_0)

Viết phương trình tiếp tuyến của thiết bị thị (C) hàm số y=f(x) lúc biết hệ số k, ta thực hiện công việc sau:

Bước 1:Gọi(M_0(x_0;y_0) in (C))là tiếp điểm của tiếp tuyến với trang bị thị (C).

Bước 2:Tính(f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) - f(x_0)x - x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) - f(x_0)x - x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

Bước 3:Giải phương trình(k=f"(x_0))tìm(x_0), rồi tìm(y_0=f(x_0).)

Bước 4:Phương trình tiếp đường của vật dụng thị (C) với thông số góc k là:(y = k(x - x_0) + y_0.)

b) Ý nghĩa đồ gia dụng lýVận tốc lập tức của vận động thẳng khẳng định bởi phương trình:(s=s(t))tại thời điểm(t_0)là(v(t_0)=s"(t_0).)Cướng độ tức thời của điện lượng(Q=Q(t))tại thời điểm(t_0)là:(I(t_0)=Q"(t_0).)
Ví dụ 1:

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:

a)(f(x)=2x^2+3x+1)tại(x_0=-1.)

b)(f(x)=sinx)tại(x_0=fracpi6.)

c)(f(x) = sqrt 2x - 1)với(x>frac12.)

Hướng dẫn giải:

a)(f(x)=2x^2+3x+1)

(Delta x = x + 1 Rightarrow x = - 1 + Delta x)và(Delta y = f( - 1 + Delta x) - f( - 1) = 2left( Delta x ight)^2 - Delta x)

Vậy:(f"( - 1) = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x = mathop lim limits_Delta x o 0 frac2left( Delta x ight)^2 - Delta xDelta x = mathop lim limits_Delta x o 0 left( 2Delta x - 1 ight) = - 1.)

b)(f(x)=sinx)

(Delta x = x - fracpi 6 Rightarrow x = fracpi 6 + Delta x)

(Delta y = fleft( fracpi 6 + Delta x ight) - fleft( fracpi 6 ight) = sin left( fracpi 6 + Delta x ight) - sin left( fracpi 6 ight) = 2cos left( fracpi 6 + fracDelta x2 ight).sin left( fracDelta x2 ight))

(f"left( fracpi 6 ight) = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x = mathop lim limits_Delta x o 0 frac2cos left( fracpi 6 + fracDelta x2 ight).sin left( fracDelta x2 ight)Delta x)

(eginarrayl = mathop lim limits_Delta x o 0 fraccos left( fracpi 6 + fracDelta x2 ight).sin left( fracDelta x2 ight)fracDelta x2 = mathop lim limits_Delta x o 0 cos left( fracpi 6 + fracDelta x2 ight).mathop lim limits_Delta x o 0 fracsin left( fracDelta x2 ight)fracDelta x2\ = cos left( fracpi 6 ight).1 = cos left( fracpi 6 ight) = fracsqrt 3 2. endarray)

c)(f(x) = sqrt 2x - 1)với(x>frac12)

(eginarrayl f"(x) = mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x + Delta x) - f(x)Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 fracsqrt 2(x + Delta x) - 1 - sqrt 2x - 1 Delta x\ = mathop lim limits_Delta x o 0 frac2Delta xleft( sqrt 2(x + Delta x) - 1 - sqrt 2x - 1 ight).Delta x\ = mathop lim limits_Delta x o 0 frac2sqrt 2(x + Delta x) - 1 - sqrt 2x - 1 = frac2sqrt 2x - 1 . endarray)

Ví dụ 2:

Cho hàm số(f(x) = left{ eginarrayl (x - 1)^2,khi,,x ge 0\ (x + 1)^2,khi,,x giải đáp giải:

Chứng minh hàm số liên tiếp tại x=0:

(eginarrayl mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + (x - 1)^2 = 1 = f(0)\ mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - (x + 1)^2 = 1 = f(0) endarray)

Suy ra:(mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = f(0))nên hàm số tiếp tục tại x=0.

Chứng minh hàm số không tồn tại đạo hàm tại x=0:

(mathop lim limits_Delta x o 0^ + fracfleft( Delta x ight) - f(0)Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0^ + fracleft( Delta x - 1 ight)^2 - 1Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0^ + left( Delta x - 2 ight) = - 2)

(mathop lim limits_Delta x o 0^ - fracfleft( Delta x ight) - f(0)Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0^ - fracleft( Delta x + 1 ight)^2 - 1Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0^ - left( Delta x + 2 ight) = 2)

Suy ra:(mathop lim limits_Delta x o 0^ + fracfleft( Delta x ight) - f(0)Delta x e mathop lim limits_Delta x o 0^ - fracfleft( Delta x ight) - f(0)Delta x)

Nên không tồn tại(mathop lim limits_Delta x o 0 fracfleft( Delta x ight) - f(0)Delta x).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Ví dụ 3:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số(y = x^3 - 3x^2 + 2)tại điểm (-1;2).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số(y=x^2-2x+3)biết:

i) Tiếp tuyến tuy nhiên song với con đường thẳng(4x-2y+5=0.)

ii) Tiếp đường vuông góc với con đường thẳng(x+4y=0.)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

(eginarrayl f"(x_0) = f"( - 1) = mathop lim limits_x o - 1 fracf(x) - f( - 1)x + 1 = mathop lim limits_x o - 1 fracx^3 - 3x^2 + 4x + 1\ = mathop lim limits_x o - 1 (x^2 - 4x + 4) = 9. endarray)

Vậy thông số góc của tiếp tuyến với đồ dùng thị (C) trên điểm (-1;-2) là k=f"(-1)=9.

Phương trình tiếp đường với đồ gia dụng thị (C) trên điểm (-1;2) là:(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.)

b) Gọi(M_0(x_0;y_0) in (C))là tiếp điểm của tiếp đường với đồ thị (C) của hàm số(y=x^2-2x+3):

(f"(x) = mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x + Delta x) - f(x)Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 fracleft< left( x + Delta x ight)^2 - 2(x + Delta x) + 3 ight> - left< x^2 - 2x + 3 ight>Delta x)

(= mathop lim limits_Delta x o 0 fracleft( 2x + Delta x ight).Delta x - 2.Delta xDelta x = mathop lim limits_Delta x o 0 left( 2x + Delta x - 2 ight) = 2x - 2.)

i) Đường thẳng(4x - 2y + 5 = 0 Leftrightarrow y = 2x + frac52)có hệ số góc k"=2.

Xem thêm: Vì Sao Chúng Ta Dùng " X Là Gì ? X Nghĩa Là Gì

Do tiếp tuyến tuy nhiên song với con đường thẳng 4x-2y+5=0 đề nghị có hệ số góc k=2.

Ta có:(f"(x_0) = 2 Leftrightarrow 2x_0 - 2 = 2 Leftrightarrow x_0 = 2 Rightarrow y_0 = f(2) = 3.)

Vậy phương trình tiếp tuyến là:(y = 2(x - 2) + 3 Rightarrow y = 2x - 1.)

ii) Đường thẳng(x + 4y = 0 Leftrightarrow y = - frac14x)có hệ số góc(k"=-frac14.)

Gọi k là thông số góc của tiếp tuyến. Bởi tiếp đường vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên:(k.k" = - 1 Rightarrow k = 4.)

Ta có:(f"(x_0) = 4 Leftrightarrow 2x_0 - 2 = 4 Leftrightarrow x_0 = 3 Rightarrow y_0 = f(3) = 6.)