Hướng dẫn giải bài xích Ôn tập Chương I. Khối đa diện, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài bác giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học tập 12 bao gồm tổng phù hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập hình học tất cả trong SGK sẽ giúp các em học viên học giỏi môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Giải bài tập hình học 12 sgk


Lý thuyết

1. §1. định nghĩa về khối nhiều diện

2. §2. Khối đa diện lồi cùng khối đa diện đều

3. §3. Có mang về thể tích của khối đa diện

Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học 12. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

jenincity.com ra mắt với chúng ta đầy đủ cách thức giải bài xích tập hình học 12 kèm bài bác giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học 12 của bài Ôn tập Chương I. Khối đa diện cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học 12

1. Giải bài xích 1 trang 26 sgk Hình học tập 12

Các đỉnh, cạnh, khía cạnh của một khối nhiều diện phải thoả mãn những đặc điểm nào?

Trả lời:

Các đỉnh, cạnh, khía cạnh của một đa diện phải thoả mãn phần nhiều tính chất:

– Hai nhiều giác minh bạch chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ bao gồm một đỉnh chung.


– từng cạnh của đa giác nào thì cũng là cạnh phổ biến của đúng hai đa giác.

2. Giải bài 2 trang 26 sgk Hình học tập 12

Tìm một hình chế tạo bởi những đa giác tuy vậy không phải là một trong đa diện.

Trả lời:

Các em rất có thể sử dụng 1 trong những 2 hình sau:

– Ta xét hình được tạo vì chưng hai tứ diện $ABCD$ cùng $A’B’C’D’$. Đáy chưa phải là hình nhiều diện cũng chính vì hình này không thoả mãn đặc điểm đầu tiên, đó là:

*

Hai mặt riêng biệt $(BCD)$ với $(A’B’C)$ tất cả điểm thông thường là $A’$ nhưng không tồn tại một đỉnh thông thường nào và cũng không tồn tại một cạnh bình thường nào.

– Hình sau được sinh sản bởi các đa giác tuy vậy không phải là 1 trong đa diện. Vì (EF) là giao của hai đa giác (ABCD) cùng (EFJI) tuy thế nó chưa hẳn là cạnh tầm thường của hai nhiều giác đó.

*

3. Giải bài bác 3 trang 26 sgk Hình học tập 12

Thế nào là 1 trong những khối đa diện lồi. Tìm kiếm ví dụ trong thực tiễn mô tả một khối nhiều diện lồi, một khối nhiều diện không lồi.


Trả lời:

*

Cho khối đa diện $(H), (H)$ được call là khối đa diện lồi giả dụ đoạn trực tiếp nối hai điểm bất kỳ của $(H)$ luôn luôn thuộc (H).

Ví dụ trong thực tiễn về khối đa diện lồi: Bao diêm, vỏ hộp phấn…

Ví dụ về khối nhiều diện không lồi vào thực tế: cái tủ lệch (không tất cả chân)…

4. Giải bài xích 4 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình lăng trụ với hình chóp bao gồm cùng diện tích s đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.

Bài giải:


Gọi (displaystyle B) là diện tích đáy và (displaystyle h) là chiều cao của khối lăng trụ ta có:

(displaystyle V)lăng trụ =(displaystyle B.h = V_(H))

Gọi (displaystyle B’) là diện tích đáy và (displaystyle h’) là chiều cao của khối chóp ta có:

(displaystyle V)chóp = (displaystyle 1over 3B’.h’=1over 3B.h = V_(H’)) (Vì diện tích s đáy và độ cao bằng nhau)

Vậy tỉ lệ thể tích giữa hình lăng trụ và hình chóp là: (displaystyle V_(H) over V_(H’) = 3.)

5. Giải bài 5 trang 26 sgk Hình học tập 12


Cho hình chóp tam giác $O.ABC$ có cha cạnh $OA, OB, OC$ song một vuông góc với nhau và $OA = a, OB = b, OC = c$. Hãy tính mặt đường cao $OH$ của hình chóp.


Bài giải:

*

Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ lên $AB$. Vì chưng $OC$ vuông góc với $OA$ với $OB$ đề xuất (OCperp (OAB)Rightarrow OCperp AB).

Từ đó ta suy ra: (ABperp (COI)).

Vậy $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CI.$

Trong tam giác vuông $AOB$ ta có:

(frac1OI^2=frac1OA^2+frac1OB^2 (1))


Trong tam giác vuông $COI$ ta có:

(frac1OH^2=frac1OI^2+frac1OC^2 (2))

Từ (1) và (2) ta có:

(frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OB^2 + frac1OC^2 = frac1a^2+frac1b^2+frac1c^2)

(=fraca^2b^2+b^2c^2+c^2a^2a^2b^2c^2)

(Leftrightarrow OH=fracabcsqrta^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)

(V_O.ABC=frac16abc=frac13.OH.S_Delta ABC)

6. Giải bài bác 6 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình chóp tam giác đầy đủ $S.ABC$ có cạnh $AB$ bằng $a$. Các ở bên cạnh $SA, SB, SC$ tạo với đáy một góc bởi $60^0$. Hotline $D$ là giao điểm của $SA$ với mặt phẳng qua $BC$ cùng vuông góc cùng với $SA$.

a) Tính tỉ số thể tích của nhị khối chóp $S.DBC$ cùng $S.ABC$

b) Tính thể tích khối chóp $S.DBC$

Bài giải:

*

a) Ta có: $AB = BC = CA = a$

Gọi $O$ là hình chiều vuông góc của (S) lên (ABC)

Khi kia ta có: (widehatSBO=widehatSCO=widehatSAO=60^0)

(Rightarrow Delta SOA=Delta SOB=Delta SOC)

(Rightarrow OA=OB=OC) giỏi O là trung khu của tam giác mọi ABC.

Trong những tam giác SOA, SOB, SOC. Ta có:

(SA=SB=SC=2OA=2.frac23.fracasqrt32=frac2asqrt33)

(SO=sqrtSB^2-OB^2=a)

Gọi $I$ là trung điểm của BC, ta có: (IDperp SA)

Nên (ID. SA=SO.IARightarrow ID=fraca.fracasqrt32frac2asqrt33= frac34a)

Xét tam giác vuông IDA, ta có:

(DA=sqrtIA^2-ID^2=fracasqrt34Rightarrow SD=frac2asqrt33- fracasqrt34=frac5asqrt312)

Mặt khác:

(fracV_S.ABCV_S.DBC=fracV_S.DBC+V_A.BCDV_SDBC= 1+fracADSD)

(=1+fracfracasqrt34frac5asqrt312=frac85Rightarrow fracV_S.DBCV_S.ABC=frac58)

b) Ta có:

(V_S.DBC=frac13SD.S_ABCD=frac13.frac5asqrt312. frac12.frac34a.a=frac5a^3sqrt396)

(Rightarrow V_SABC=frac85.frac5asqrt396=fraca^3sqrt312)

7. Giải bài bác 7 trang 26 sgk Hình học tập 12

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ bao gồm $AB = 5a; BC = 6A; CA=7a$. Các mặt mặt $SAB, SBC, SCA$ chế tạo ra với lòng một góc bằng $60^0$. Tình thể tích khối chóp đó.

Bài giải:

*

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Call $A’, B’, C’$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên các cạnh $BC, CA, AB$. Xét các tam giác vuông: $SHA’, SHB’, SHC’$ có:

(widehatSA’H=widehatSB’H=widehatSC’H=60^0) (vì các góc này đó là các góc của mặt bên và mặt đáy ABC)

Từ các tam giác vuông đó thuận lợi suy ra (SC’=SA’=SB’) nên $HA’ = HB’= HC’ ⇒ H$ là trung khu đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Mặt khác diện tích của tam giác ABC có thể tính theo công thức:

(S_Delta ABC=sqrt(p-AB)(p-AC)(p-BC).p)

Với (p=fracAB+AC+BC2=frac5a+6a+7a2=9a)

Do đó: (S_Delta ABC=sqrt(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)p=sqrt216a^4=6a^2sqrt6)

Vì (S_Delta ABC=p.r) (r là nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

(Rightarrow r=frac6a^2sqrt69a=frac2asqrt63)

Xét tam giác vuông SHA’, ta có: (tan 60^0=fracSHHA’Rightarrow SH=r.tan60^0)

(Rightarrow SH=frac2asqrt63.sqrt3=2sqrt2a)

Do kia thể tích của khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC=frac13S._Delta ABC.SH=frac13.6.a^2sqrt6. 2sqrt2a=8sqrt3a^3)

8. Giải bài bác 8 trang 26 sgk Hình học 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $SA$ vuông góc cùng với đáy và $AB=a, AD=b, SA=c$. Lấy những điểm $B’, D’$ theo đồ vật tự ở trong $SB, SD$ sao để cho (AB’perp SB, AD’perp SD). Khía cạnh phẳng $(AB’D’)$ giảm $SC$ tại $C’$. Tính thể tích khối chóp $S.AB’C’D’.$

Bài giải:

*

Dựng điểm $C’$ như hình vẽ.

Ta có: (BCperp AB) (giả thiết) (1)

Mặt khác: (SAperp (ABCD)) phải (SAperp BC) (2)

Từ (1) cùng (2) ta có: (BCperp (SAB))

(Rightarrow BCperp AB’) (3)

Ta có: (AB’perp SB) (giả thiết) (4)

Từ (3) cùng (4) suy ra suy ra (AB’perp (SBC))

Hay ta đạt được (AB’perp BC’)

(Leftrightarrow Delta AB’C’) vuông trên B’

Hoàn toàn giống như ta cũng có thể có (Delta AD’C’) vuông trên D’

Ta có: (AB’perp SC;AD’perp SC)

(vì (AB’perp (SBC), AD’perp (SDC)))

Nên (SCperp (AB’C’D’)). Vì chưng vậy:

(V_S.AB’C’D’=frac13.S_AB’C’D’.SC’=frac13 left < S_Delta AB’C’+S_Delta AD’C’ ight >.SC’)

(=frac16left < AB’.B’C’+AD’.D’C’ ight >.SC’ (*))

Ta có:

(frac1AB^2=frac1a^2+frac1c^2=fraca^2+c^2a^2.c^2 Rightarrow AB^2=fraca^2.c^2a^2+c^2Rightarrow AB^2= fracacsqrta^2+c^2) (5)

Tương tự: (AD’^2=fracb^2c^2b^2+c^2Rightarrow AD’=fracbcsqrtb^2+c^2) (6)

(frac1AC’^2=frac1c^2+frac1AC^2=frac1c^2+frac1a^2+b^2= fraca^2+b^2+c^2c^2(a^2+b^2))

(Rightarrow AC’^2=fracc^2(a^2+b^2)a^2+b^2+c^2Rightarrow AC’= fraccsqrta^2+b^2sqrta^2+b^2+c^2) (7)

(Rightarrow BC’^2=AC’^2-AB’^2=-fraca^2c^2a^2+c^2+fracc^2(a^2+b^2)a^2+b^2+c^2)

(=frac-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2 (a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2))

(=fracc^4b^2(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2))

(Rightarrow B’C’=fracc^2bsqrt(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) (8))

Tương tự: (C’D’=fracc^2asqrt(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) (9); SC’= fracc^2sqrta^2+b^2+c^2 (10))

Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:

(V_S.AB’C’D’=)

(frac16Bigg < fracacsqrta^2+c^2.fracc^2b(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)).(+ fracbcsqrta^2+c^2. fracc^2asqrt(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) Bigg >) (fracc^2sqrta^2+b^2+c^2)

(=frac16fracc^5aba^2+b^2+c^2 left < frac1a^2+c^2+frac1b^2+c^2 ight >)

9. Giải bài xích 9 trang 26 sgk Hình học tập 12

Cho hình chóp tứ giác đầy đủ $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$, kề bên tạo với lòng một góc bằng $60^0$. Call $M$ là trung điểm của $SC$. Khía cạnh phẳng đi qua $AM$ và tuy nhiên song cùng với $BD$, giảm $SB$ tại $E$ và cắt $SD$ tại $F$. Tính thể tích khối chóp $S.AEMF.$

Bài giải:

*

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ cùng $BD. AM$ cắt $SO$ tại $I$.

Do mặt phẳng chứ AM, tuy vậy song cùng với BD buộc phải E, F thứu tự là các giao điểm của đường thẳng qua I, song song cùng với BD với các đường trực tiếp SB, SD.

Ta có: (DBperp AC) (giả thiết)

(SOperp BD) (vì S.ABCD là hình chóp đều)

Nên (BDperp (SAC)Rightarrow EFperp (SAC)Rightarrow EFperp SC) (1)

Mặt không giống tam giác SAC cân nặng tại S, không chỉ có vậy theo đưa thiết thì góc thân SA cùng (ABCD) bởi 600 có nghĩa là góc (widehatSAC=60^0) buộc phải (Delta SAC) đều. Bởi vì M là trung điểm của SC phải (AMperp SC) (2)

Từ (1) và (2), ta có: (SCperp (AEMF)Rightarrow SM) là chiều cao của khối chóp S.AEMF

Cũng từ (EFperp (SAC)Rightarrow EFperp AMRightarrow S_AEMF=frac12 EF.AM)

(Rightarrow V_S.AEMF=frac13.frac12EF.AM.SM) (*)

Vì (Delta SAC) phần đa và (AC=asqrt2) (đường chéo cánh của hình vuông cạnh a) đề nghị (SC=asqrt2Rightarrow SM=fracasqrt22(3))

Cũng vì chưng (Delta SAC) những cạnh (asqrt2) nên (AM=fracasqrt2.sqrt32=fracasqrt62 (4))

Để thấy I là trung tâm của trung khu giác SDB yêu cầu theo định lý Talet ta có:

(fracEFBD=fracSISO=frac23Rightarrow EF=frac23BD= frac23asqrt2 (5))

Thay (3), (4) cùng (5) vào (*) ta có:

(V_S.AEMF=frac16.frac23.asqrt2.fracasqrt22. fracasqrt62=fraca^3sqrt618)

10. Giải bài bác 10 trang 27 sgk Hình học 12

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có toàn bộ các cạnh đều bởi a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

b) phương diện phẳng trải qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC giảm AC và BC thứu tự tạ E với F. Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.

Bài giải:

*

a) Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’.

Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có: (A’Mperp B’C’) (1)

Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: (BB’perp (A’B’C’))

(Rightarrow BB’perp A’M)

Từ (1) cùng (2) suy ra (A’Mperp (BB’C)) giỏi A’M là mặt đường cao của hình chóp A’.BCB’.

Ta có: (A’M=fracasqrt32;S_BB’C=frac12a^2)

(Rightarrow V_A’BB’C=frac13A’M.S_BB’CRightarrow V_A’BB’C=fraca^3sqrt312)

b) Thể tích hình chóp C.A’B’EF bằng tổng thể và toàn diện tích hai hình chóp:

V1 là thể tích hình chóp đỉnh B’, đáy là tam giác CEF.

V2 là thể tích hình chóp đỉnh B’, lòng là tam giác A’EC.

Do mp (ABC) // mp(A’B’C’) nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có: (EF=frac23a)

Hình chóp B’.CEF có độ cao BB’ = a và ăn mặc tích lòng là:

(S_CEF=frac12.frac2a3.frac23.fracasqrt33=fraca^2sqrt39)

Từ trên đây ta có: (V_1=fraca^3sqrt327)

Do (EC=frac23AC) nên (S_A’EC=frac23a.frac12a=fraca^23)

Hình chóp B’.A’EC có chiều cao là B’I (chiều cao của (Delta A’B’C’)) bởi (fracasqrt32) yêu cầu (V_2=fraca^3sqrt318)

Vậy thể tích hình chóp C.A’B’FE là: (V=V_1+V_2=frac5a^3sqrt354)

11. Giải bài bác 11 trang 27 sgk Hình học tập 12

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hotline E và F theo máy tự là trung điểm của những cạnh BB’ cùng DD’. Phương diện phẳng (CEF) chia khối vỏ hộp trên có tác dụng hai khối nhiều diện. Tính tỉ số của nhì khối đa diện đó.

Bài giải:

*

Trước hết, ta khẳng định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt vày mp (CEF). Phương diện phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF cơ mà E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của CC’ yêu cầu EF cất giao điểm O của những đường chéo hình hộp, vì thế mặt phẳng (CEF) cùng cất giao điểm O của các đường chéo và nó cũng đựng đường chéo A’C của hình hộp.

Ta thuận tiện nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một khía cạnh phẳng tuy vậy song với lòng hình hộp, phương diện phẳng này giảm AA’ ở p và cắt CC’ sinh sống Q.

Ta có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là:

(V_ABCD.PEQF=frac12V_ABCD.A’B’C’D’) (1)

Ta cũng chứng minh được một cách dễ dàng:

(V_CFQE=V_AFPE) (2)

(Hai hình chóp CFQE với A’FPE có độ cao bằng nhau và ăn mặc tích đáy bằng nhau)

Xét khối đa diện ABCDE’F vì mặt phẳng (CEF) chia ra trên hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:

(V_ABCD.FA’EQ=V_ABCD.FPE+V_A’FPE)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(V_ABCD.FA’EQ=frac12.V_ABCD.A’B’C’D’)

Vậy khía cạnh phẳng (CEF) phân chia hình vỏ hộp thành hai khối nhiều diện rất có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1.

Chú ý: rất có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình vỏ hộp là tâm đối xứng của hình hộp, vì thế mặt phẳng (CEF) chứa điểm O buộc phải chia hình vỏ hộp thành nhị hình đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy nhì hình này là hai hình cân nhau và rất có thể tích bởi nhau.

12. Giải bài xích 12 trang 27 sgk Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hotline M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện BC.

b) mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành nhì khối nhiều diện. Gọi (H) là khối nhiều diện cất đỉnh A, (H) là khối nhiều diện còn lại. Tính tỉ số (fracV_(H)V_(H’))

Bài giải:

*

a) Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bởi a và mặc tích & bằng (fraca^22)

(V_ADMN=frac13a.fraca^22=fraca^36)

b) Trước hết, ta dựng tiết diện của hình lập phương lúc cắt vì chưng mp(DMN).

Do (ABCD) // (A’B’C’D’) cần (DMN) giảm (A’B’C’D’) theo một giao tuyến tuy vậy song với DN. Ta dựng thiết diện như sau:

– từ M kẻ mặt đường thẳng tuy vậy song với DN, mặt đường này cắt cạnh A’D’ trên điểm phường và giảm đường trực tiếp C’B’ trên điểm Q. Trong mặt phẳng (BCC’B’) thì QN cắt cạnh BB’ tại điểm R; nhiều giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt vì mp (DMN).

Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 Bài 1: Hàm Số Lượng Giác, Toán 11 Bài 1: Hàm Số Lượng Giác

– bây giờ ta tính thể tích khối nhiều diện ABNDPMR. Thể tích này có thể coi là thể tích của bố hình chóp.

V1 là thể tích hình chóp đáy ABND, đỉnh M;

V2 là thể tích hình chóp đáy AA’PD, đỉnh M;

V3 là thể tích hình chóp lòng NRB, đỉnh M

Hình chóp M.ABND, bao gồm đường cao bởi a, diện tích s đáy là hình thang ABND là:

(frac12left ( fraca2+a ight ).a=frac3a^24)

Suy ra: (V_1=frac13.frac3a^24.aRightarrow V=fraca^34)

Dễ thấy (A’P=fraca4). Hình chóp M.AA’PD có độ cao (fraca2) và diện tích hình thang AA’PD là: (frac12left ( fraca4+a ight )a=frac5a^28)

Suy ra: (V_2=frac13.fraca2.frac5a^28Rightarrow V_2= frac5a^248)

Dễ thấy (BR=frac23a). Diện tích s tam giác NRB là: (frac12.frac23a.fraca2=fraca^26)

Hình chóp M.NRB có độ cao (fraca2) và ăn diện tích đáy (fraca^26) nên:

(V_2=frac13.fraca2.fraca^26Rightarrow V_3=fraca^336)

(V_ABNDPMR=V_1+V_2+V_3= frac5a^348+fraca^34+fraca^336=frac55a^3144)

Thể tích phần còn lại là: (frac144a^3144-frac55a^3144=frac89a^3144)

Từ trên đây suy ra tỉ số bắt buộc tìm là: (frac5589)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 26 27 sgk Hình học tập 12!