Giải bài tập trang 169 bài bác 3 đạo hàm của hàm con số giác Sách giáo khoa (SGK) Đại số với Giải tích 11. Câu 5: Tính...

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 169


Bài 5 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tính ( fracf"(1)varphi "(1)), hiểu được (f(x) = x^2) cùng (φ(x) = 4x +sin fracpi x2).

Lời giải:

Ta bao gồm (f"(x) = 2x), suy ra (f"(1) = 2) 

và (φ"(x) = 4 + left ( fracpi x2 ight )". Cos fracpi x2 = 4 + fracpi 2. Cos fracpi x2), suy ra (φ"(1) = 4).

Vậy ( fracf"(1)varphi "(1)) = ( frac24) = ( frac12).

 

Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng những hàm số sau tất cả đạo hàm không dựa vào (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x);

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )) (+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x).

Lời giải:

a) Ta có:

(y" = 6sin ^5x.cos x - 6cos ^5x.sin x + 6sin x.cos^3x - 6sin ^3x.cos x)

(= 6sin ^3x.cos x(sin^2 x - 1) + 6sin x.cos^3 x(1 - cos ^2x))

(= - 6sin ^3x.cos^3 x + 6sin ^3x.cos^3 x = 0).

Vậy (y" = 0) với tất cả (x), tức là (y") không phụ thuộc vào vào (x).

 b)

(y = 1 + cos left( 2pi over 3 - 2x ight) over 2 + 1 + cos left( 2pi over 3 + 2x ight) over 2 + 1 + cos left( 4pi over 3 - 2x ight) over 2 )

(+ 1 + cos left( 4pi over 3 + 2x ight) over 2 - 2sin ^2x)

Áp dụng phương pháp tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

(y" =sin left ( frac2pi 3-2x ight ) - sin left ( frac2pi 3+2x ight )+ sin left ( frac4pi 3-2x ight ) - sin left ( frac4pi 3+2x ight ))

(- 2sin 2x = 2cos frac2pi 3.sin(-2x) + 2cos frac4pi 3. sin (-2x) - 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x - 2sin 2x = 0),

vì (cos frac2pi 3) = (cos frac4pi 3) = ( -frac12).

Vậy (y" = 0) với đa số (x), cho nên vì thế (y") không phụ thuộc vào (x).

 

Bài 7 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình (f"(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x);

b) (f(x) = 1 - sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight )).

Lời giải:

a) (f"(x) = - 3sin x + 4cos x + 5). Vì chưng đó

(f"(x) = 0 Leftrightarrow - 3sin x + 4cos x + 5 = 0 Leftrightarrow3 sin x - 4cos x = 5)

(Leftrightarrow frac35sin x - frac45 cos x = 1). (1)

Đặt (cos φ = frac35), (left(φ ∈ left ( 0;fracpi 2 ight ) ight ) Rightarrow sin φ = frac45), ta có:

(1) (Leftrightarrow sin x.cos φ - cos x.sin φ = 1 Leftrightarrow sin(x - φ) = 1)

(Leftrightarrow x - φ = fracpi 2 + k2π Leftrightarrow x = φ + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z).

b) (f"(x) = - cos(π + x) - sin left (pi + fracx2 ight ) = cos x + sin fracx 2)

(f"(x) = 0 Leftrightarrow cos x + sin fracx 2 = 0 Leftrightarrow sin fracx 2 = - cosx)

(Leftrightarrow sin fracx 2 = sin left (x-fracpi2 ight ))

(Leftrightarrow fracx 2= x-fracpi2+ k2π) hoặc ( fracx 2 = π - x+fracpi2+ k2π) 

(Leftrightarrow x = π - k4π) hoặc (x = π + k frac4pi 3), ((k ∈ mathbb Z)).

 

Bài 8 trang 169 sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11

Giải bất phương trình (f"(x) > g"(x)), biết rằng:

a) (f(x) = x^3+ x - sqrt2), (g(x) = 3x^2+ x + sqrt2) ;

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3), (g(x) = x^3+ fracx^22 - sqrt 3).

Xem thêm: Bài 5 Trang 37 Sgk Toán 11 (Phương Trình Lượng Giác A Sinx + B Cosx = C)

Lời giải:

a) Ta bao gồm (f"(x) = 3x^2+ 1), (g"(x) = 6x + 1). Bởi đó

(f"(x) > g"(x) Leftrightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 Leftrightarrow 3x^2- 6x >0) 

(Leftrightarrow 3x(x - 2) > 0 Leftrightarrow x > 2) hoặc (x > 0)

(Leftrightarrow x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)).

b) Ta có (f"(x) = 6x^2- 2x), (g"(x) = 3x^2+ x). Bởi vì đó

(f"(x) > g"(x) Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0)