Hướng dẫn giải bài xích §2. Cực trị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra và vẽ đồ dùng thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài xích giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập giải tích bao gồm trong SGK để giúp đỡ các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 trang 18

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) thường xuyên trên khoảng $(a;b)$ cùng điểm (x_0in(a;b)):

– Hàm số (f(x)) đạt cực lớn tại (x_0) nếu

(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)

– Hàm số (f(x)) đạt cực tiểu tại x0 nếu

(f(x_0)0).

2. Điều kiện yêu cầu và điều kiện đủ nhằm hàm số bao gồm cực trị

a) Điều kiện buộc phải để hàm số có cực trị

(f(x)) đạt cực trị trên (x_0), gồm đạo hàm trên (x_0) thì (f"(x_0)=0).

b) Điều kiện đủ nhằm hàm số tất cả cực trị

♦ Định lí 1.

Cho hàm số y = f(x) tiếp tục trên khoảng chừng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và gồm đạo hàm bên trên K hoặc bên trên K (setminus) x0 .

– ví như (left{ matrix{f’left( x ight) > 0|forall left( x_0 – h;,,x_0 ight) hfill cr f’left( x ight) 0 là điểm cực lớn của hàm số

– trường hợp (left{ matrixforall left( x_0;,,x_0 + h ight) hfill cr ight.) thì x0 là điểm cực tè của hàm số

♦ Định lí 2.

Cho hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm trung học phổ thông trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).

– ví như f"(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tè của hàm số f.

– nếu f"(x0) = 0, f”(x0) 0 là điểm cực to của hàm số f.

3. Quy tắc tìm rất trị

a) quy tắc $I$

– tra cứu tập xác định.

– Tính f"(x). Tìm các điểm tại đó f"(x) bằng 0 hoặc f"(x) ko xác định.

– Lập bảng trở nên thiên.

– từ bảng biến hóa thiên suy ra những điểm rất trị.

b) phép tắc $II$

– tìm tập xác định.

– Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là những nghiệm của nó.

– Tính f”(x) và f”(xi)

– giả dụ f”(xi) > 0 thì xi là điểm rất tiểu. Nếu f”(xi) i là điểm rất đại.

Chú ý: giả dụ (f”(x_i)=0) thì ta buộc phải dùng quy tắc I nhằm xét rất trị tại.

Dưới đó là phần hướng dẫn trả lời các thắc mắc và bài bác tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 13 sgk Giải tích 12

Dựa vào vật dụng thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra những điểm tại kia mỗi hàm số sau có mức giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

*

Trả lời:

a) Từ thứ thị hàm số ta thấy: tại (x = 0) hàm số có giá trị lớn số 1 bằng (1).

Xét dấu đạo hàm:

*

b) Từ đồ vật thị hàm số ta thấy:

Tại (x = 1) hàm số có giá trị lớn nhất bằng (displaystyle 4 over 3)

Tại (x = 3) hàm số có mức giá trị bé dại nhất bởi (0).

Xét vệt đạo hàm:

*

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 14 sgk Giải tích 12

Giả sử f(x) đạt cực to tại (x_0). Hãy chứng minh khẳng định 3 trong để ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số (f(x_0 + Delta x) – ,f(x_0) over Delta x) khi $Δx → 0$ trong nhị trường thích hợp $Δx > 0$ cùng $Δx 0$ ta có:

(mathop lim limits_Delta x o 0^ + dfracfleft( x_0 + Delta x ight) – fleft( x_0 ight)Delta x = 0 = f’left( x_0^ + ight))

– cùng với $Δx

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 14 sgk Giải tích 12

a) thực hiện đồ thị, hãy xem xét các hàm số dưới đây có cực trị xuất xắc không.

$y = -2x + 1;$

(y = x(x – 3)^2 over 3,,,(H.8))

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị với dấu của đạo hàm.

*

Trả lời:

a) Hàm số $y = -2x + 1$ không có cực trị.

Hàm số (y = x(x – 3)^2 over 3) đạt cực đại tại $x = 1$ và đạt rất tiểu tại $x = 3$.

b) nếu hàm số tất cả cực trị thì vết của đạo hàm bên trái và bên buộc phải điểm cực trị đang khác nhau.

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 16 sgk Giải tích 12

Chứng minh hàm số $y = |x|$ không có đạo hàm tại $x = 0$. Hàm số gồm đạt cực trị tại đặc điểm đó không?

Trả lời:

Ta có:

(y = ,|x|, = left{ matrix{x;,,x ge 0 hfill cr– x;,,x 1;,,x ge 0 hfill cr– 1;,,x

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 16 sgk Giải tích 12

Áp dụng phép tắc $I$, hãy tìm những điểm rất trị của hàm số (f(x) = x(x^2 – 3)).

Trả lời:

TXĐ: $D = R$

$f’(x) = 3x^2 – 3$. đến $f’(x) = 0 ⇔ x = 1$ hoặc $x = -1$.

Ta tất cả bảng biến hóa thiên:

*

Vậy:

– Hàm số đạt cực lớn tại $x = -1$ cùng giá trị cực to là $2$

– Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 1$ và cực hiếm cực tè là $-2$.

Dưới đó là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy gọi kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

jenincity.com ra mắt với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 của bài bác §2. Rất trị của hàm số vào Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để điều tra khảo sát và vẽ vật dụng thị hàm số cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12

1. Giải bài bác 1 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng phép tắc $I$, hãy tìm các điểm rất trị của hàm số sau:

a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10).

b) (y = x^4+ 2x^2 – 3).

c) (y = x + frac1x).

d) (y = x^3(1 – x)^2).

e) (y = sqrt x^2-x+1).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Ta bao gồm đạo hàm: (y’ = 6x^2 + 6x – 36)

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 2\ x = – 3 endarray ight.)

Với $x=2$ ta bao gồm $y=-54$.

Với $x=-3$ ta bao gồm $y=71$.

– Bảng vươn lên là thiên:

*

Hàm số đạt cực lớn tại $x=-3$, giá bán trị cực lớn $y_cđ = y(-3) = 71.$

Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu $y_ct= y(2) =- 54.$

b) Xét hàm số (y = x^4+ 2x^2 – 3)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1))

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0)

Với $x=0$ ta có $y=-3$.

– Bảng thay đổi thiên của hàm số:

*

Hàm số đạt rất tiểu trên $x=0$, quý hiếm cực tè $y_ct= y(0)=- 3.$

Hàm số không có cực đại.

c) Xét hàm số (y = x + frac1x)

– Tập xác định: (D = mathbbRackslash left 0 ight\)

– Đạo hàm:

(y’=1-frac1x^2=fracx^2-1x^2=frac(x-1)(x+1)x^2)

(y’ = 0 Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)

Với $x = 1$ ta gồm $y = 2.$

Với $x = -1$ ta bao gồm $y = -2.$

– Bảng đổi thay thiên:

*

Hàm số đạt cực to tại $x=-1$, giá chỉ trị cực to $y_cđ = y(-1) = -2.$

Hàm số đạt rất tiểu trên $x = 1$, quý hiếm cực tè $y_ct = y(1) = 2.$

d) Xét hàm số (y = x^3(1 – x)^2)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x))

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = frac35\ x = 0 endarray ight.)

Với (x=1) ta có (y=0.)

Với (x=frac35) ta gồm (y=frac1083125.)

Với x=0 ta gồm (y=0.)

– Bảng biến thiên:

*

Hàm số đạt cực đại tại (x=frac35,) giá trị cực lớn (y_cđ =yleft ( frac35 ight )frac1083125.)

Hàm số đạt rất tiểu tại (x=1,) cực hiếm cực tiểu (y_ct=y(1)=0.)

e) Xét hàm số (y = sqrt x^2-x+1)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 )

(y’ = 0 Leftrightarrow 2x – 1 = 0 Leftrightarrow x = frac12)

Với (x=frac12) ta tất cả (y=fracsqrt 32).

– Bảng biến đổi thiên:

*

Vậy hàm số đạt rất tiểu trên (x=frac12), quý giá cực đái (y_ct=yleft ( frac12 ight )=fracsqrt 32.)

2. Giải bài xích 2 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau:

a) (y = x^4 – 2x^2 + 1).

b) (y=sin 2x – x).

c) (y = sinx + cosx).

d) (y = x^5 – x^3 – 2x + 1).

Bài giải:

a) Hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 1).

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 – m 1)) ;

(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).

( y” = 12x^2-4).

(y”(0) = -4 CĐ = ( y(0) = 1).

(y”(pm 1) = 8 > 0) đề xuất hàm số đạt cực tiểu trên (x = pm1),

(y)CT = (y(pm1)) = 0.

b) Hàm số (y=sin 2x – x)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y’ = 2cos2x – 1) ;

(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)

(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)

(y” = -4sin2x) .

(y”left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3CĐ = ( sin(fracpi 3+ k2π) – fracpi 6 – kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).

(y”left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) đề xuất hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x =-fracpi 6+ kπ),

(y)CT = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 – kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 – kπ) , (k ∈mathbb Z).

c) Hàm số (y = sinx + cosx)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y = sinx + cosx = sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));

( y’ =sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;

(y’=0 Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)

(y”=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)

(y”left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))

(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))

(=left{ matrix– sqrt 2 ext giả dụ k chẵn hfill crsqrt 2 ext giả dụ k lẻ hfill cr ight.)

Do kia hàm số đạt cực đại tại các điểm (x=fracpi 4+k2pi), đạt cực tiểu tại những điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)

d) Hàm số (y = x^5 – x^3 – 2x + 1)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = m 5x^4 – m 3x^2 – m 2 m = m (x^2 – m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 – m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).

(y” m = m 20x^3 – m 6x).

(y”(1) = 14 > 0) đề xuất hàm số đạt rất tiểu trên (x = 1),

(y)CT = ( y(1) = -1).

(y”(-1) = -14 CĐ = (y(-1) = 3).

3. Giải bài xích 3 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt x ight ) không tồn tại đạo hàm trên (x = 0) mà lại vẫn đạt rất tiểu trên điểm đó.

Bài giải:

– chứng tỏ hàm số không tồn tại đạo hàm trên điểm (x=0):

(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt x ight = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ + fracsqrt x x = mathop lim limits_x o 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x x = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lim limits_x o 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)

(Rightarrow) ko tồn trên đạo hàm của hàm số đã đến tại (x = 0).

– chứng tỏ hàm số đạt rất tiểu tại (x=0) :

Với (h>0) là một số trong những thực bất kỳ ta có:

(eginarraylfleft( x ight) = sqrt left ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)

Theo định nghĩa điểm cực trị của hàm số ta kết luận (x=0) là vấn đề cực tiểu của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt left ).

4. Giải bài bác 4 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng với tất cả giá trị của thông số m, hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1) luôn luôn luôn có một điểm cực lớn và một điểm cực tiểu.

Bài giải:

Xét hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1)

– Tập khẳng định (D=mathbbR.)

– Đạo hàm:

(y’ = 3x^2 – 2mx – 2), (Delta ‘_y’ = m^2 + 6 > 0,forall m) phải phương trình $y’=0$ luôn có hai nghiệm sáng tỏ và $y’$ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực to và một cực tiểu.

5. Giải bài 5 trang 18 sgk Giải tích 12

Tìm (a) và (b) để các cực trị của hàm số

(y=frac53a^2x^3+2ax^2-9x+b)

đều là hồ hết số dương và (x_0=-frac59) là điểm cực đại.

Bài giải:

♦ TH1: (a = 0) hàm số đổi thay (y = -9x + b).

TXĐ: $D = R$.

Trường vừa lòng này hàm số tất cả (a=-1 0\Leftrightarrow frac53.left( – frac95 ight)^2 + 2.left( – frac95 ight) – 9 + b > 0Leftrightarrow b > frac365endarray)

Với (a > 0) ta có (frac1a > frac – 95a) ta tất cả bảng biến thiên :

*

Từ BBT ta có (x_CĐ=frac-95a).

Vì (x_0=-frac59) là điểm cực lớn nên (-frac95a=-frac59Leftrightarrow a=frac8125) ™. Theo yêu cầu vấn đề thì: (y_(ct)=yleft ( frac1a ight )=yleft ( frac2581 ight )>0)

(Leftrightarrow frac53cdot left ( frac8125 ight )^2left ( frac2581 ight )^3+2.frac8125cdot left ( frac2581 ight )^2-9cdot frac2581+b>0)

(Leftrightarrow b>frac400243.)

Vậy các giá trị (a, b) đề xuất tìm là: (left{eginmatrix a=-frac95 & \ b>frac365 & endmatrix ight.) hoặc (left{eginmatrix a=frac8125 & \ b>frac400243 & endmatrix ight.).

6. Giải bài bác 6 trang 18 sgk Giải tích 12

Xác định quý giá của thông số (m) nhằm hàm số (y=fracx^2+mx+1x+m) đạt cực lớn tại (x = 2).

Bài giải:

Tập xác định : (D=mathbbRsetminus left -m ight ;)

Ta có:

(eginarrayly’ = fracleft( 2x + m ight)left( x + m ight) – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = frac2x^2 + 2mx + mx + m^2 – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = fracx^2 + 2mx + m^2 – 1left( x + m ight)^2endarray)

Hàm số đạt cực to tại (x = 2Rightarrow y"(2) = 0) (⇔ m^2 + m 4m m + m 3 m = m 0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)

♦ cùng với (m = -1), ta có : (y=fracx^2-x+1x-1;)

TXĐ: (Rackslash left 1 ight\)

(y’=fracx^2-2x(x-1)^2; y’=0Leftrightarrow left{eginmatrix x^2 -2x=0& \ x eq 1 & endmatrix ight.)

(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).

Ta có bảng biến chuyển thiên :

*

Trường đúng theo này ta thấy hàm số ko đạt cực lớn tại (x = 2).

♦ cùng với (m = -3), ta có: (y=fracx^2-3x+1x-3;)

TXĐ: (D = Rackslash left 3 ight\)

(y’ = fracx^2 – 6x + 8left( x – 3 ight)^2;,,y’ = 0 Leftrightarrow left<eginarraylx = 2\x = 4endarray ight.)

Ta tất cả bảng phát triển thành thiên :

*

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực lớn tại (x = 2).

Xem thêm: Giải Toán Lớp 4 Trang 173 Ôn Tập Về Hình Học, Giải Bài 1, 2, 3, 4 Trang 173 Sgk Toán 4

Vậy (m = -3) là giá trị buộc phải tìm.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 12 với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12!