Để giải phương trình mũ cùng logarit bọn họ có 3 phương pháp, phổ biến nhất là mang về cùng cơ số và đặt ẩn phụ tiếp theo là logarit hóa hai vế, còn giải phương trình mũ với logarit bằng phương thức hàm số ít được thực hiện hơn.

Bạn đang xem: Giải phương trình mũ và logarit


Tuy nhiên, phương pháp giải phương trình mũ với logarit bởi hàm số so với một số bài toán mang lại hiệu quả rất bất ngờ. Phương pháp giải phương trình nón bằng cách thức hàm số như thế nào? chúng ta cùng tham khảo nội dung bài viết dưới đây.

° Hàm số - kỹ năng cần nhớ

Tính chất 1: giả dụ hàm f(x) tăng (hoặc giảm) trong tầm (a;b) thì phương trình f(x) = k có không thực sự một nghiệm trong vòng (a;b).

• Tính chất 2: Nếu hàm f(x) tăng trong vòng (a;b) với hàm g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) có không ít nhất một nghiệm thuộc khoảng chừng (a;b), (do kia nếu vĩnh cửu x0 ∈ (a;b): f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm tốt nhất của phương trình f(x) = g(x)).

° Giải phương trình mũ cùng logarit bằng cách thức hàm số ta thực hiện quá trình sau:

cách 1: chuyển phương trình về dạng f(x) = k.

• Bước 2: Xét hàm số y = f(x).

 Dùng lập luận xác định hàm số đơn điệu (đồng vươn lên là hoặc nghịch biến).

• Bước 3: Nhận xét:

 - với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k, vì vậy x = x0 là nghiệm.

- cùng với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) ⇔ f(x) > k, đề xuất phương trình vô nghiệm.

- cùng với x 0 ⇔ f(x) 0) ⇔ f(x) • Bước 4: Kết luận: x = x0 là nghiệm tuyệt nhất của phương trình.

° Bài tập vận dụng giải phương trình mũ cùng logarit bằng phương thức hàm số

* bài xích tập 1: Giải những phương trình mũ cùng logarit sau:

a) 2x + 5x = 7

b) log3(x+3) + log5(x+5) = 2

* Lời giải:

- Với bài xích tập này thì vế trái làm cho hàm mũ hoặc logarit, vế đề xuất là hàm hằng.

a) 2x + 5x = 7

- Ta có: VT = 2x + 5x , là hàm đồng biến

 VP = 7, là 1 trong hàm hằng.

→ Như vậy, trường hợp phương trình gồm nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- phương diện khác, ta thấy: cùng với x = 1 thì:

 VT = 21 + 51 = 7 = VP

⇒ Phương trình bao gồm nghiệm tốt nhất x = 1.

b) log3(x+3) + log5(x+5) = 2

- Điều kiện: x ≥ -3.

- Ta có: VT = log3(x+3) + log5(x+5) là một trong hàm đồng biến

 VP = 2 là hàm hằng

→ Như vậy, ví như phương trình gồm nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.

- phương diện khác, ta thấy: cùng với x = 0 (thỏa điều kiện x ≥ -3) thì:

 VT =log3(3) + log5(5) = 1 + 1 = 2 = VP

⇒ Phương trình có nghiệm tuyệt nhất x = 0.

* bài xích tập 2: Giải các phương trình sau.

a) 5x = 6 - x

b) log6x = 7 - x.

* Lời giải:

- Với bài tập này thì vế trái làm hàm nón hoặc logarit, vế cần là hàm số bậc 1.

a) 5x = 6 - x

- Ta có: VT = 5x , là hàm đồng biến

 VP = 6 - x, là một hàm nghịch biến.

→ Như vậy, ví như phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- khía cạnh khác, ta thấy: cùng với x = 1 thì:

 VT = 51 = 5; VP = 6 - 1 = 5 ⇒ VT = VP

⇒ Phương trình tất cả nghiệm tuyệt nhất x = 1.

b) log6x = 7 - x.

- Ta có: VT = log6x , là hàm đồng biến

 VP = 7 - x, là một trong hàm nghịch biến.

→ Như vậy, nếu như phương trình bao gồm nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.

- khía cạnh khác, ta thấy: cùng với x = 6 thì:

 VT = log66 = 1; VP = 7 - 6 = 1 ⇒ VT = VP

⇒ Phương trình gồm nghiệm nhất x = 6.

* bài tập 3: Giải pương trình: log2x + log5(2x+1) = 2.

* Lời giải:

- Điều kiện logarit bao gồm nghĩa: x >0

- Ta có: VT = log2x + log5(2x+1) , là hàm đồng biến.

 VP = 2 là hàm hằng.

→ Như vậy, ví như phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- mặt khác, ta thấy: cùng với x = 2 thì:

 VT = log22 + log5(2.2+1) = 1 + 1 = 2 = VP.

⇒ Phương trình bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = 2.

• Cũng rất có thể lập luận như sau:

 - nhận thấy x = 2 là nghiệm.

 + nếu x > 2 thì:

 log2x > log22 = 1; log5(2x + 1) > log2(2.2 + 1) = 1.

 ⇒ log2x + log5(2x+1) > 2

 ⇒ Phương trình vô nghiệm.

 + nếu như 02x 22 = 1; log5(2x + 1) 2(2.2 + 1) = 1.

 ⇒ log2x + log5(2x+1) * bài bác tập 4: Giải phương trình: 31-x - log2x - 1 = 0

* Lời giải:

- Điều khiếu nại log có nghĩa: x > 0

- Ta có: 

*

- Ta thấy:

 VT = (1/3)x-1 : của phương trình là một hàm nghịch biến.

 VP = log2x + 1: của phương trình là 1 hàm đồng biến.

→ vì chưng vậy, giả dụ phương trình tất cả nghiệm thì nghiệm sẽ là duy nhất.

- phương diện khác, ta nhẩm thấy x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

 

*

⇒ Phương trình bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = 1.

Xem thêm: Toán 11 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Lớp 11, Trọn Bộ Công Thức Toán 11

* bài xích tập 5: Giải phương trình: 

*
(*)

* Lời giải:

- Điều kiện: x≠0

- nhấn thấy:

*

 

*

- vì vậy phương trình (*) tương tự với phương trình:

*

 

*

- mặt khác: 

*
 là hàm số đồng biến chuyển trên R, vì thế để:

 

*

 

*

- Đối chiếu điều kiện x = 0 (loại), x = 2 (nhận). 

⇒ Phương trình (*) có nghiệm độc nhất x = 2.

* bài xích tập tự làm (vận dụng giải phương trình mũ cùng logarit cách thức bằng hàm số)