Nội dung bài học sẽ trình làng đến các em quan niệm Giới hạn của hàm số. Hình như là các dạng vấn đề tính số lượng giới hạn của hàm số cùng với gần như ví dụ minh họa được đặt theo hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ ợt nắm được nội dung bài bác học.

Bạn đang xem: Giới hạn của hàm số lớp 11


1. Bắt tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2. Các định lí về giới hạn

1.3. Một vài gới hạn đặc biệt

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 2 chương 4 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềgiới hạn của hàm số

3.2. Bài bác tập SGK & nâng cao vềgiới hạn của hàm số

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 4 giải tích 11


*

a) số lượng giới hạn hàm số

Cho khoảng tầm (K) đựng điểm (x_0). Ta nói rằng hàm số (f(x)) xác minh trên (K) (có thể trừ điểm (x_0)) có số lượng giới hạn là (L) khi x dần tới (x_0) nếu như với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n in Kackslash m x_0 m ) và(x_n o x_0), ta có:(f(x_n) o L). Ta kí hiệu:

(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)hay (f(x) o L) khi(x o x_0).

b) số lượng giới hạn một bênCho hàm số (y = f(x)) xác minh trên((x_0;b)) .Số (L) call là số lượng giới hạn bên yêu cầu của hàm số (y = f(x)) lúc (x) dần dần tới (x_0) nếu với đa số dãy ((x_n):x_0 mang lại hàm số (y = f(x)) xác định trên((a;x_0)).Số (L) call là số lượng giới hạn bên trái của hàm số (y = f(x)) khi (x) dần tới (x_0) nếu với tất cả dãy ((x_n):a

Chú ý: (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L Leftrightarrow mathop lim limits_x o x__0^ + f(x) = mathop lim limits_x o x__0^ - f(x) = L).

c) số lượng giới hạn tại vô cựcTa nói hàm số (y = f(x)) xác minh trên ((a; + infty )) có giới hạn là (L) lúc (x o + infty ) nếu với đa số dãy số ((x_n):x_n > a) với (x_n o + infty ) thì (f(x_n) o L). Kí hiệu: (mathop lim limits_x o + infty f(x) = L).Ta nói hàm số (y = f(x)) xác định trên (( - infty ;b)) có số lượng giới hạn là (L) khi (x o - infty ) nếu với mọi dãy số ((x_n):x_n d) giới hạn vô cựcTa nói hàm số (y = f(x)) có giới hạn dần cho tới dương vô cực khi (x) dần tới (x_0) nếu với tất cả dãy số ((x_n):x_n o x_0) thì(f(x_n) o + infty ). Kí hiệu:(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty ).Tương từ ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cựcTa cũng có định nghĩa như trên lúc ta gắng (x_0) vị ( - infty ) hoặc( + infty ).

Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, yêu quý (mẫu số dẫn về(L e 0)) khi (x o x_0) (hay(x o + infty ;x o - infty ) ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của những giới hạn đó khi (x o x_0) (hay(x o + infty ;x o - infty )) .

Chú ý: Định lí trên ta chỉ vận dụng cho phần đông hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần dần về vô cực

Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)

Cho tía hàm số (f(x),g(x),h(x)) xác định trên (K)chứa điểm (x_0) (có thể các hàm đó không khẳng định tại (x_0)). Ví như (g(x) le f(x) le h(x) m forall x in K)và (mathop lim limits_x o x_0 g(x) = mathop lim limits_x o x_0 h(x) = L) thì(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L).


(mathop lim limits_x o + infty atopleft( x o - infty ight) x^2k = + infty ) ; (mathop lim limits_x o + infty atopleft( x o - infty ight) x^2k + 1 = + infty ,,left( - infty ight))(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty m ( - infty ) Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 frackf(x) = 0 m (k e 0)).

Bài toán 1: kiếm tìm (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) biết (f(x)) khẳng định tại (x_0).

Phương pháp:

Nếu (f(x)) là hàm số cho vì chưng một phương pháp thì giá chỉ trị giới hạn bằng (f(x_0))Nếu (f(x)) cho bởi vì nhiều công thức, lúc ấy ta sử dụng đk để hàm số có số lượng giới hạn (Giới hạn trái bằng số lượng giới hạn phải).

Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 0 fracsin 2x + 3cos x + x2x + cos ^23x)

b) (mathop lim limits_x o 2 fracsqrt x^2 + 3 - 2xsqrt<3>x + 6 + 2x - 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (mathop lim limits_x o 0 fracsin 2x + 3cos x + x2x + cos ^23x = fracsin 0 + 3cos 0 + 02.0 + cos ^20 = 3)

b) Ta có: (mathop lim limits_x o 2 fracsqrt x^2 + 3 - 2xsqrt<3>x + 6 + 2x - 1 = fracsqrt 2^2 + 3 - 2.2sqrt<3>2 + 6 + 2.2 - 1 = fracsqrt 7 - 45).

Ví dụ 2:

Xét xem những hàm số sau có giới hạn tại những điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

a) (f(x) = left{ eginarraylfracx^2 + 3x + 1x^2 + 2 m lúc x phía dẫn:

a) Ta có:(mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + frac3x + 23 = frac53).

(mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - fracx^2 + 3x + 1x^2 + 2 = frac53 Rightarrow mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = frac53).

Vậy(mathop lim limits_x o 1 f(x) = frac53).

b) Ta có:(mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + (2x^2 + 3x + 1) = 1).

(mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - ( - x^2 + 3x + 2) = 2 Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + f(x) e mathop lim limits_x o 0^ - f(x)).

Vậy hàm số (f(x)) không tồn tại giới hạn khi(x o 0).

Ví dụ 3:

Tìm (m) để các hàm số:

a) (f(x) = left{ eginarraylfracx^2 + mx + 2m + 1x + 1 m lúc x ge 0\frac2x + 3m - 1sqrt 1 - x + 2 m khi x phía dẫn:

a) Ta có: (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + fracx^2 + mx + 2m + 1x + 1 = 2m + 1)

(mathop lim limits_x o 0^ - f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - frac2x + 3m - 1sqrt 1 - x + 2 = frac3m - 13)

Hàm số có giới hạn khi (x o 0) khi còn chỉ khi (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ - f(x))

( Leftrightarrow 2m + 1 = frac3m - 13 Leftrightarrow m = - frac43).

b) Ta có: (mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ + (3mx + 2m - 1) = 5m - 1)

(mathop lim limits_x o 1^ - f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - left( fracx^2 + x - 2sqrt 1 - x + mx + 1 ight))

( = mathop lim limits_x o 1^ - left( - (x + 2)sqrt 1 - x + mx + 1 ight) = m + 1)

Hàm số có số lượng giới hạn khi (x o 1) khi còn chỉ khi (mathop lim limits_x o 1^ + f(x) = mathop lim limits_x o 1^ - f(x))

( Leftrightarrow 5m - 1 = m + 1 Leftrightarrow m = frac12).

Bài toán 2: search (A = mathop lim limits_x o x_0 fracf(x)g(x)) trong những số đó (f(x_0) = g(x_0) = 0).

Dạng này ta call là dạng vô định(frac00).

Để khử dạng vô định này ta thực hiện định lí Bơzu đến đa thức:

Định lí: Nếu đa thức (f(x)) bao gồm nghiệm (x = x_0) thì ta tất cả :

(f(x) = (x - x_0)f_1(x)).

Nếu (f(x)) cùng (g(x)) là những đa thức thì ta so với (f(x) = (x - x_0)f_1(x)) và(g(x) = (x - x_0)g_1(x)). Khi đó(A = mathop lim limits_x o x_0 fracf_1(x)g_1(x)), ví như giới hạn này còn có dạng (frac00) thì ta thường xuyên quá trình như trên.

Chú ý :Nếu tam thức bậc nhị (ax^2 + b mx + c) bao gồm hai nghiệm (x_1,x_2) thì ta luôn có sự phân tích(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)).

Nếu (f(x)) cùng (g(x)) là các hàm cất căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để chuyển về những đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

1. ((sqrt a - sqrt b )(sqrt a + sqrt b ) = a - b)

2. ((sqrt<3>a pm sqrt<3>b)(sqrt<3>a^2 mp sqrt<3>ab + sqrt<3>b^2) = a - b)

3. ((sqrta - sqrtb)(sqrta^n - 1 + sqrta^n - 2b + ... + sqrtb^n - 1) = a - b)

Nếu (f(x)) với (g(x)) là những hàm đựng căn thức không cùng cấp ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu (sqrtu(x),sqrtv(x) o c) thì ta phân tích:

(sqrtu(x) - sqrtv(x) = (sqrtu(x) - c) - (sqrtv(x) - c)).

Trong nhiều trường hợp bài toán phân tích như trên ko đi đến công dụng ta đề nghị phân tích như sau:(sqrtu(x) - sqrtv(x) = (sqrtu(x) - m(x)) - (sqrtv(x) - m(x))), trong số ấy (m(x) o c).

Một đẳng thức phải lưu ý:

(a^n - b^n = (a - b)(a^n - 1 + a^n - 2b + ... + ab^n - 2 + b^n - 1)).

Ví dụ 1:

Tính những giới hạn sau:

a) Tìm giới hạn (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 3.)

b) Tìm số lượng giới hạn (B = mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 5x^2 + 4x^3 - 8.)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^3 - 3x^2 + 2x^2 - 4x + 3 = mathop lim limits_x o 1 frac(x - 1)(x^2 - 2x - 2)(x - 1)(x - 3))( = mathop lim limits_x o 1 fracx^2 - 2x - 2x - 3 = frac32).

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 5x^2 + 4x^3 - 8 = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x^2 - 4)x^3 - 2^3)( = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4))( = mathop lim limits_x o 2 frac(x^2 - 1)(x + 2)x^2 + 2x + 4 = 1).

Ví dụ 2:

Tìm những giới hạn sau:

a) (A = mathop lim limits_x o 1 fracx^n - 1x - 1)

b) (B = mathop lim limits_x o 1 fracx^5 - 5x^3 + 2x^2 + 6x - 4x^3 - x^2 - x + 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (x^n - 1 = (x - 1)(x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1))

Suy ra: (fracx^n - 1x - 1 = x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1)

Do đó: (A = mathop lim limits_x o 1 left( x^n - 1 + x^n - 2 + ... + x + 1 ight) = n).

b) Ta có: (x^5 - 5x^3 + 2x^2 + 6x - 4 = (x - 1)^2(x + 2)(x^2 - 2))

(x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1))

Do đó: (B = mathop lim limits_x o 1 frac(x + 2)(x^2 - 2)x + 1 = - frac32).

Ví dụ 3:

Tìm những giới hạn sau:

a)(A = mathop lim limits_x o 1 fracsqrt 2x - 1 - xx^2 - 1)

b)(B = mathop lim limits_x o 2 fracsqrt<3>3x + 2 - xsqrt 3x - 2 - 2)

Lời giải:

a)Ta có:(A = mathop lim limits_x o 1 frac2x - 1 - x^2(x - 1)(x + 1)(sqrt 2x - 1 + x))( = mathop lim limits_x o 1 frac - (x - 1)(x + 1)(sqrt 2x - 1 + x) = 0)

b)Ta có:(B = mathop lim limits_x o 2 frac(3x + 2 - x^3)(sqrt 3x - 2 + 2)3(x - 2)(sqrt<3>(3x + 2)^2 + 2sqrt<3>3x + 2 + 4))

( = mathop lim limits_x o 2 frac - (x^2 + 2x + 1)(sqrt 3x - 2 + 2)3(sqrt<3>(3x + 2)^2 + 2sqrt<3>3x + 2 + 4) = - 1) .

Bài toán 3: Tìm(B = mathop lim limits_x o pm infty fracf(x)g(x)), vào đó(f(x),g(x) o infty ), dạng này ta còn được gọi là dạng vô định(fracinfty infty ).

Phương pháp: tương tự như như phương pháp khử dạng vô định ở dãy số. Ta bắt buộc tìm cách đưa về các giới hạn:

(mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) x^2k = + infty ) ; (mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) x^2k + 1 = + infty m ( - infty )).(mathop lim limits_x o + infty atop(x o - infty ) frackx^n = 0 m (n > 0;k e 0)).(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = + infty m ( - infty ) Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 frackf(x) = 0 m (k e 0)).

Ví dụ 1:

Tìm các giới hạn sau:

a) (A = mathop lim limits_x o + infty frac(4x + 1)^3(2x + 1)^4(3 + 2x)^7)

b) (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt 4x^2 - 3x + 4 + 3xsqrt x^2 + x + 1 - x)

Hướng dẫn:

a) Ta có: (A = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4 + frac1x ight)^3left( 2 + frac1x ight)^4left( frac3x + 2 ight)^7 = 8.)

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o - infty frac - sqrt 4 - frac3x + frac4x^2 + 3 - sqrt 1 + frac1x + frac1x^2 - 1 = frac12.)

Ví dụ 2:

Tìm những giới hạn sau:

a) (A = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2x^2 + 1 - sqrt x^2 + 1 2x + 2)

b) (B = mathop lim limits_x o - infty fracsqrt 3x^2 - 2 + sqrt x + 1 sqrt x^2 + 1 - 1)

Hướng dẫn:

a) Ta có:(A = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2 + frac1x^2 - leftx(2 + frac2x) = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 2 + frac1x^2 - sqrt 1 + frac1x^2 2 + frac2x = fracsqrt 2 - 12.) .

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o - infty frac x ightleft( sqrt 1 + frac1x^2 - frac1 x ight ight) = mathop lim limits_x o - infty frac - sqrt 3 - frac2x^2 - sqrt frac1x + frac1x^2 - left( sqrt 1 + frac1x^2 - frac1 ight) = sqrt 3 .)

Ví dụ 3:

Tìm giới hạn (H = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 - sqrt 4x^2 + 2 ight).)

Hướng dẫn:

Ta có: (H = mathop lim limits_x o + infty fracsqrt 16x^4 + 3x + 1 - (4x^2 + 2)sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 )

( = mathop lim limits_x o + infty frac16x^4 + 3x + 1 - (4x^2 + 2)^2left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 ight)left( sqrt 16x^4 + 3x + 1 + 4x^2 + 2 ight))

( = mathop lim limits_x o + infty frac - 16x^2 + 3x - 3left( sqrt<4>16x^4 + 3x + 1 + sqrt 4x^2 + 2 ight)left( sqrt 16x^4 + 3x + 1 + 4x^2 + 2 ight))

Suy ra (H = 0).

Bài toán 4: Dạng vô định: (infty - infty ) và (0.infty )

Phương pháp:

Những dạng vô định này ta kiếm tìm cách thay đổi đưa về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ 1:

Tìm số lượng giới hạn (A = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt x^2 - x + 1 - x ight).)

Hướng dẫn:

Ta có: (A = mathop lim limits_x o + infty frac(sqrt x^2 - x + 1 - x)(sqrt x^2 - x + 1 + x)sqrt x^2 - x + 1 + x)

( = mathop lim limits_x o + infty fracx^2 - x + 1 - x^2sqrt x^2 - x + 1 + x = mathop lim limits_x o + infty frac - x + 1sqrt x^2 - x + 1 + x = - frac12).

Ví dụ 2:

Tìm giới hạn (B = mathop lim limits_x o - infty left( 2x + sqrt 4x^2 - x + 1 ight).)

Hướng dẫn:

(B = mathop lim limits_x o - infty frac(2x - sqrt 4x^2 - x + 1 )(2x + sqrt 4x^2 - x + 1 )2x - sqrt 4x^2 - x + 1 )( = mathop lim limits_x o - infty fracx + 12x - sqrt 4x^2 - x + 1 = frac14).

Ví dụ 3:

Tìm những giới hạn sau:(A = mathop lim limits_x o - infty (sqrt<3>x^3 - 3x^2 + sqrt x^2 - 2x ))

Hướng dẫn:

Ta có: (sqrt<3>x^3 - 3x^2 + sqrt x^2 - 2x = (sqrt<3>x^3 - 3x^2 - x) + (sqrt x^2 - 2x + x))

( = frac - 3x^2sqrt<3>(x^3 - 3x^2)^2 + xsqrt<3>x^3 - 3x^2 + x^2 + frac - 2xsqrt x^2 - 2x - x)

( Rightarrow A = mathop lim limits_x o - infty frac - 3sqrt<3>(1 - frac3x)^2 + sqrt<3>1 - frac3x + 1 + mathop lim limits_x o - infty frac - 2 - sqrt 1 - frac2x - 1 = 0).

Bài toán 5: Dạng vô định các hàm lượng giác

Phương pháp:

Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về những dạng sau:

( ullet )(mathop lim limits_x o 0 fracsin xx = mathop lim limits_x o 0 fracxsin x = 1), từ trên đây suy ra(mathop lim limits_x o 0 frac an xx = mathop lim limits_x o 0 fracx an x = 1).

( ullet ) nếu (mathop lim limits_x o x_0 u(x) = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o x_0 fracsin u(x)u(x) = 1) và(mathop lim limits_x o x_0 frac an u(x)u(x) = 1).

Ví dụ 1:

Tìm giới hạn (A = mathop lim limits_x o 0 frac1 - cos axx^2.)

Hướng dẫn:

Ta có:(A = mathop lim limits_x o 0 frac2sin ^2fracax2x^2 = fraca2mathop lim limits_x o 0 left( fracsin fracax2fracax2 ight)^2 = fraca2).

Ví dụ 2:

Tìm giới hạn (B = mathop lim limits_x o 0 fraccos 2x - cos 3xx(sin 3x - sin 4x).)

Hướng dẫn:

(B = mathop lim limits_x o 0 frac2sin frac5x2sin fracx2 - 2xcos frac7x2sin fracx2 = - mathop lim limits_x o 0 (frac52.fracsin frac5x2frac5x2).mathop lim limits_x o 0 frac1cos frac7x2 = frac52).

Ví dụ 3:

Tìm những giới hạn sau:

a)(A = mathop lim limits_x o 0 x^3sin frac1x^2)

b)(B = mathop lim limits_x o + infty left( 2sin x + cos ^3x ight)left( sqrt x + 1 - sqrt x ight))

Hướng dẫn:

a) Ta có: (0 le left| x^3sin frac1x^2 ight| le x^3)

Mà (mathop lim limits_x o 0 x^3 = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 left| x^3sin frac1x^2 ight| = 0 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 x^3sin frac1x^2 = 0)

Vậy (A = 0).

Xem thêm: Bài Toán Lớp 5 Luyện Tập Trang 21 Giải Toán Lớp 5 Trang 21, Giải Bài Tập Toán Lớp 5 Hay Nhất

b) Ta có: (B = mathop lim limits_x o + infty frac2sin x + cos ^3xsqrt x + 1 + sqrt x )

Mà: (0 le left| frac2sin x + cos ^2xsqrt x + 1 + sqrt x ight| le frac3sqrt x + 1 + sqrt x o 0) lúc (x o + infty ).