Nội dung bài xích học để giúp đỡ các em nuốm được những khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai tuyến phố thẳng vuông góc. Hình như là những ví dụ minh họa để giúp đỡ các em xuất hiện các kỹ năng giải bài bác tập tương quan đến tính góc, chứng tỏ hai mặt đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Bạn đang xem: Hai đường thẳng vuông góc lớp 11


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1.Góc giữa haivectơ

1.2. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1.3. Vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

1.5. Hai tuyến phố thẳng vuông góc

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 2 chương 3 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai mặt đường thẳng vuông góc

3.2 bài tập SGK và cải thiện vềHai mặt đường thẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 3 hình học 11


*

Cho (vec u)và (vec v)là nhị vectơ trong ko gian. Xuất phát điểm từ 1 điểm A bất kể vẽ (overrightarrow AB = overrightarrow u ,overrightarrow AC = overrightarrow v). Khi đó ta gọi góc (widehat BAC(0 le widehat BAC le 180^0))là góc thân hai vecto vectơ (vec u)và(vec v), kí hiệu là (left ( vec u ;vec v ight )). Ta có:(left ( vec u ;vec v ight )=widehat BAC).

*


a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô vị trí hướng của hai vectơ(vec u)và(vec v)đều khác vectơ-không là một trong những được kí hiệu là (vec u .vec v)xác dịnh bởi:

(overrightarrow u .overrightarrow v = left| overrightarrow u ight|.left| overrightarrow v ight|.c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))

Nếu (vec u= vec0)hoặc (vec v= vec0)thì ta quy ước(vec u.vec v=0.)

b) Tính chấttích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ(overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c)trong không gian và với đa số số k ta có:

(overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a)(tính hóa học giao hoán).(overrightarrow a (overrightarrow b + overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c)(tính hóa học phân phối).((k.overrightarrow a ).overrightarrow b = k.(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a .koverrightarrow b .)(overrightarrow a ^2 ge 0,overrightarrow a ^2 = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0.)c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ(vec u)và(vec v)bằng (c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ))theo công thức:(c mos(overrightarrow mu .overrightarrow v ) = fracoverrightarrow u .overrightarrow v ).


1.3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng


Vectơ (overrightarrow a e overrightarrow 0)được điện thoại tư vấn là vectơ chỉ phương của con đường thẳng d nếu như giá của vectơ(overrightarrow a)song tuy nhiên hoặc trùng với đường thẳng d.

*

Nếu (overrightarrow a)là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ (koverrightarrow a)với (k e 0)cũng là 1 trong vectơ chỉ phương của d.

Một mặt đường thẳng d trong không gian trọn vẹn xác định được trường hợp biết một điểm A nằm trong d với một vectơ chỉ phương (overrightarrow a)của d.


1.4. Góc giữa hai tuyến phố thẳng


Góc giữa hai đường thẳng a với b trong không khí là góc giữa hai tuyến đường thẳng a’ với b’ cùng đi sang một điểm bất kỳ lần lượt tuy vậy song với a và b.

*


1.5. Hai đường thẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai con đường thẳng a với b hotline là vuông góc với nhau nếu góc thân chúng bởi 900. Ta kí hiệu là:(b ot a)hoặc(a ot b.)

b) Tính chấtNếu(vec u)và(vec v)lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a cùng b thì:(a ot b Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0.)Cho hai đường thẳng tuy nhiên song. Trường hợp một con đường thẳng vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với mặt đường thẳng kia.Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy khẳng định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a)(overrightarrow AB ,overrightarrow EG .)

c)(overrightarrow AB ,overrightarrow DH).

Hướng dẫn giải:

*

a) do EG // AC phải góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow EG)cũng bằng góc giữa(overrightarrow AB)và(overrightarrow AC)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow EG ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow AC ight) = 45^0.)

b) vày AB // DG phải góc giữa(overrightarrow AB ,overrightarrow DH)cũng bởi góc giữa(overrightarrow DC)và(overrightarrow DH)

Vậy(left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = left( overrightarrow AB ;overrightarrow DH ight) = 45^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC tất cả SA = SB =SC và có (widehat mASB = widehat BSC = widehat CSA.)

Chứng minh rằng:(SA ot BC, SBot AC, SC ot AB.)

Hướng dẫn giải:

Xét những tích vô hướng:(overrightarrow SA .overrightarrow BC ,overrightarrow SB .overrightarrow AC ,overrightarrow SC .overrightarrow AB .)

Ta có:

(eginarrayl overrightarrow SA .overrightarrow BC = overrightarrow SA .(overrightarrow SC - overrightarrow SB ) = overrightarrow SA .overrightarrow SC - overrightarrow SA .overrightarrow SB \ = left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SC ight|.c moswidehat mCSA - left| overrightarrow SA ight|.left| overrightarrow SB ight|c moswidehat mASB endarray)

Theo giá chỉ thuyết:(left| overrightarrow SB ight| = left| overrightarrow SC ight|)

Và:(c moswidehat mCSA = c moswidehat mASB Rightarrow overrightarrow SA .overrightarrow BC = 0)

Vậy:(SA ot BC.)

Chứng minh tựa như ta có:(SBot AC, SC ot AB.)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD tất cả AB⊥AC với AB⊥BD. Gọi p. Và Q thứu tự là trung điểm của AB cùng CD. Chứng minh rằng AB cùng PQ là hai tuyến phố thẳng vuông góc cùng với nhau.

Lời giải:

*

Ta có: (overrightarrow PQ = overrightarrow PA + overrightarrow AC + overrightarrow CQ)

Và: (overrightarrow PQ = overrightarrow PB + overrightarrow BD + overrightarrow DQ)

Do đó: (2overrightarrow PQ = overrightarrow AC + overrightarrow BD)

Vậy:(2.overrightarrow PQ .overrightarrow AB = left( overrightarrow AC + overrightarrow BD ight).overrightarrow AB = overrightarrow AC .overrightarrow AB + overrightarrow BD .overrightarrow AB = 0)

Hay (overrightarrow PQ .overrightarrow AB = 0)Tức là: (PQ ot AB.)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, (widehat BAC = widehat BAD = 60^0.).

a) chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) giả dụ I, J thứu tự là trung điểm của AB và CD thì (AB ot IJ.)

Hướng dẫn giải:

*

a) Ta có:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AB left( overrightarrow AD - overrightarrow AC ight) = overrightarrow AB .overrightarrow AD - overrightarrow AB .overrightarrow AC \ = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC endarray)

Mặt không giống ta có:(AB = AC = AD,widehat BAC = widehat BAD)

Nên:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AD ight|.cos BAD - left| overrightarrow AB ight|.left| overrightarrow AC ight|.cos BAC = 0)

Vậy AB vuông góc cùng với CD.

b)) bởi I, J là trung điểm của AB với CD cần ta có:(overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AD + overrightarrow BC ight))

Do đó:

(eginarrayl overrightarrow AB .overrightarrow IJ = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BC ight) = frac12left( overrightarrow AB .overrightarrow AD + overrightarrow AB overrightarrow BA + overrightarrow AB .overrightarrow AC ight)\ = frac12left( overrightarrow AC ight ight)\ = frac12left( frac12a^2 - a^2 + frac12a^2 ight) = 0 endarray)

Vậy AB với IJ vuông góc nhau.


Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng nếu(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB )thì(AB ot CD,AC ot BD,AD ot BC). Điều ngược lại có đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AC .overrightarrow AD Leftrightarrow overrightarrow AC left( overrightarrow AB - overrightarrow AD ight) = 0)

( Leftrightarrow overrightarrow AC .overrightarrow DB = 0 Leftrightarrow AC ot BD)

Bước 2: minh chứng tương tự, từ(overrightarrow AC .overrightarrow AD = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AD ot BC)

và(overrightarrow AB .overrightarrow AC = overrightarrow AD .overrightarrow AB ) ta được(AB ot CD)

Bước 3: ngược lại đúng, vị quá trình minh chứng ở bước 1 với 2 là quá trình đổi khác tương đương.

Bài giải bên trên đúng tuyệt sai, trường hợp sai thì sai ở đâu?


Bên cạnh đó những em rất có thể xem phần gợi ý Giải bài xích tập Hình học tập 11 bài bác 2sẽ giúp những em cụ được các phương thức giải bài tập từ bỏ SGKhình học 11Cơ bản và Nâng cao.

Xem thêm: Giải Toán Lớp 5 Trang 141, 142, Luyện Tập, Giải Bài 1, 2, 3, 4 Trang 141, 142 Sgk Toán 5

bài xích tập 1 trang 97 SGK Hình học 11

bài bác tập 2 trang 97 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 3 trang 97 SGK Hình học tập 11

bài tập 4 trang 98 SGK Hình học 11

bài tập 5 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài tập 6 trang 98 SGK Hình học 11

bài xích tập 7 trang 98 SGK Hình học 11

bài bác tập 8 trang 98 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 3.8 trang 138 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

bài xích tập 3.10 trang 138 SBT Hình học 11

bài xích tập 3.11 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài tập 3.12 trang 139 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 3.13 trang 139 SBT Hình học 11

bài tập 3.14 trang 139 SBT Hình học 11

bài tập 3.15 trang 139 SBT Hình học 11

bài xích tập 7 trang 95 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 8 trang 95 SGK Hình học 11 NC

bài xích tập 9 trang 96 SGK Hình học 11 NC

bài tập 10 trang 96 SGK Hình học tập 11 NC

bài xích tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC


4. Hỏi đáp về bài 2 chương 3 hình học tập 11


Nếu có thắc mắc cần giải đáp những em rất có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm vấn đáp cho những em.