Nội dung bài bác học để giúp các em thế được khái niệm, cách xác minh góc giữa hai khía cạnh phẳng, mối liên hệ của diện tích đa giác với hình chiếu của nó, các điều kiện để nhì mặt phẳng vuông góc nhau. Dường như là các ví dụ minh họa để giúp đỡ các em hiện ra các tài năng giải bài tập tương quan đến xác định góc thân hai mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc,...

Bạn đang xem: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau


1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Góc thân hai khía cạnh phẳng

1.2. Nhì mặt phẳng vuông góc

1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương

1.4. Hình chóp hồ hết và hình chóp cụt đều

2. Bài bác tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 4 chương 3 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai phương diện phẳng vuông góc

3.2 bài xích tập SGK và nâng cấp vềHai mặt phẳng vuông góc

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 3 hình học tập 11


*

a) Định nghĩa

Góc giữa hai khía cạnh phẳng là góc giữa hai tuyến đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nhận xét:Nếu nhị mặt phẳng tuy nhiên song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa hai phương diện phẳng đó bởi 0o.

b) Cách khẳng định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

Cho hai mặt phẳng (P) với (Q): ((P) cap left( Q ight) = c)

Lấy I bất kì thuộc c.

Trong (P) qua I kẻ (a ot c).

Trong (Q) qua I kẻ (b ot c).

Khi đó góc giữa hai phương diện phẳng (P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng a với b.

*

c) diện tích hình chiếu của một đa giác

Với S là diện tích s đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của nhiều giác đó trên (Q),(varphi)là góc thân (P) và (Q) ta có:(S"=S.cos varphi).


1.2. Nhì mặt phẳng vuông góc


a) Định nghĩa

Hai mặt phẳng được điện thoại tư vấn là vuông góc cùng với nhau nếu góc giữa chúng bởi 90o.

b) những định lýĐịnh lý 1:Nếu một mặt phẳng cất một con đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng không giống thì nhì mặt phẳng đó vuông góc cùng với nhau.

*

(left{ eginarrayl a ot mp(P)\ a subset mp(Q) endarray ight. Rightarrow mp(Q) ot mp(P))

Hệ quả 1: nếu hai mặt phẳng (P) với (Q) vuông góc cùng nhau thì bất kể đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc cùng với giao đường của (P) và (Q) số đông vuông góc với phương diện phẳng (Q).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ (P) cap (Q) = d\ a subset (P),a ot d endarray ight. Rightarrow a ot (Q))

Hệ trái 2: giả dụ hai phương diện phẳng (P) cùng (Q) vuông góc cùng với nhau và A là một trong những điểm vào (P) thì con đường thẳng a trải qua điểm A và vuông góc cùng với (Q) sẽ phía trong (P).

*

(left{ eginarrayl (P) ot (Q)\ A in (P)\ A in a\ a ot (Q) endarray ight. Rightarrow a subset (P))

Hệ trái 3:Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và thuộc vuông góc với khía cạnh phẳng thứ bố thì giao con đường của chúng vuông góc với khía cạnh phẳng thiết bị ba.

*

(left{ eginarrayl (P) cap (Q) = a\ (P) ot (R)\ (Q) ot (R) endarray ight. Rightarrow a ot (R))


1.3. Hình lăng trụ đứng, hình vỏ hộp chữ nhật, hình lập phương


a) Hình lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có ở kề bên vuông góc với đáy.

Nhận xét: các mặt mặt của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

*
*

b) Hình lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ các là hình lăng trụ đứng gồm đáy là nhiều giác đều.

Nhận xét: những mặt bên của hình lăng trụ phần nhiều là đầy đủ hình chữ nhật đều nhau và vuông góc với khía cạnh đáy.

*

c) Hình hộp đứng

Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

Nhận xét: Trong hình vỏ hộp đứng bốn mặt mặt đều là hình chữ nhật.

*

d) Hình vỏ hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình vỏ hộp đứng bao gồm đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật mọi là hình chữ nhật.

e) Hình lập phương

Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có toàn bộ các cạnh bởi nhau.

*


1.4. Hình chóp phần đa và hình chóp cụt đều


a) Hình chóp đều

Định nghĩa: Một hình chóp được điện thoại tư vấn là hình chóp phần nhiều nếu đáy của chính nó là nhiều giác đầy đủ và các sát bên bằng nhau.

*

Nhận xét:

+ Đường vuông góc với dưới mặt đáy kẻ từ bỏ đỉnh hotline là mặt đường cao của hình chóp.

+ Một hình chóp là hình chóp đầy đủ đáy của nó là nhiều giác rất nhiều và chân mặt đường cao của hình chóp trùng với trọng tâm của đáy.

+ Một hình chóp là hình chóp số đông đáy của nó là đa giác đầy đủ và các ở kề bên tạo voéi dưới đáy các góc bằng nhau.

b) Hình chóp cụt

Định nghĩa: Khi giảm hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt này được gọi là hình chóp cụt đều.

*

Nhận xét:

Hai lòng của hình chóp cụt phần đông là 2 đa giác những đồng dạng cùng với nhau.Đoạn nối trung ương 2 đáy được call là con đường cao của hình chóp cụt đều.Trong hình chóp cụt đều các mặt mặt là đều hình thang cân bằng nhau.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tất cả cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) với (DA’C).

Hướng dẫn giải:

*

Kẻ(BH ot A"C, m (H in mA"C))(1).

Mặt khác:(BD ot AC m (gt))

(AA" ot (ABCD) Rightarrow AA" ot BD m )

(Rightarrow BD ot (ACA") Rightarrow BD ot A"C)(2)

Từ (1) (2) suy ra:

(A"C ot (BDH) Rightarrow A"C ot DH)

Do đó:((widehat (BA"C),(DA"C)) = (widehat HB,HD))

Xét tam giác BCA" ta có:

(frac1BH^2 = frac1BC^2 + frac1BA"^2 = frac32a^2 Rightarrow bh = a.sqrt frac23 Rightarrow DH = a.sqrt frac23)

Ta có:

(cos widehat BHD = frac2BH^2 - BD^22BH^2 = - frac12 Rightarrow widehat BHD = 120^0>90^0)

Vậy: (widehat ((BA"C),(DA"C)) =180^0-120^0= 60^0.)

Ví dụ 2:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, lòng ABC là tam giác cân AB=AC=a, (widehat BAC = 120^0), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc thân hai mp(ABC) với (AB’I).

Hướng dẫn giải:

*

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên phương diện phẳng (ABC).

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) với (AB’I).

Theo bí quyết hình chiếu ta có: (cos varphi = fracS_ABCS_AB"I).

Ta có:

(S_ABC = frac12.AB.AC.sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4)

(AI = sqrt AC^2 + CI^2 = fracasqrt 5 2)

(AB" = sqrt AB^2 + BB"^2 = asqrt 2)

(IB" = sqrt B"C"^2 + IC"^2 = fracasqrt 13 2.)

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên(S_AB"I = frac12.AB".AI = fraca^2sqrt 10 4).

Vậy:(cos varphi = fracS_ABCS_AB"I = sqrt frac310 .)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: ((SBD) ot (ABCD).)

Hướng dẫn giải:

*

Ta có: (AC ot BD)(1) (giả thiết).

Mặt khác, (SO ot AC)(2) (SAC là tam giác cân nặng tại A với O là trung điểm của AC bắt buộc SO là con đường cao của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra: (AC ot (SBD))mà (AC subset (ABCD))nên((SBD) ot (ABCD).)

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, (AD = asqrt 2), (SA ot (ABCD)). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC với BM. Chứng minh rằng:((SAC) ot (SMB).)

Lời giải:

*

Ta có: (SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BM m (1)).

Xét tam giác vuông ABM có: ( an widehat AMB = fracABAM = sqrt 2).

Xét tam giác vuông ACD có: ( an widehat CAD = fracCDAD = frac1sqrt 2 ).

Xem thêm: " Leave Behind Là Gì - Get Left Behind Là Gì

Ta có:

(eginarrayl cot widehat AIM = cot (180^0 - (widehat AMB + widehat CAD))\ = cot (widehat AMB + widehat CAD) = 0 Rightarrow widehat AIM = 90^0 endarray)

Hay (BM ot AC m (2)).

+ trường đoản cú (1) cùng (2) suy ra: (BM ot (SAC))mà (BM subset (SAC))nên ((SAC) ot (SMB).)