Các bài toán về hàm số lượng giác 11 thông thường có trong nội dung đề thi cuối kỳ và trong đề thi trung học phổ thông quốc gia, đó cũng là nội dung kiến thức đặc trưng mà các em bắt buộc nắm vững.

Bạn đang xem: Hàm số lượng giác lớp 11


Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, từng dạng toán sẽ có được ví dụ và lý giải giải cụ thể để các em dễ ợt vận dụng khi chạm mặt các dạng bài xích tập hàm con số giác tương tự.

I. Kim chỉ nan về Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = sinx nhận những giá trị đặc biệt:

 ° sinx = 0 khi 

 ° sinx = 1 khi 

*

 ° sinx = -1 khi 

*

+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng:

*

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

*

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

- Hàm số y = cosx nhận các giá trị sệt biệt:

 ° cosx = 0 khi

 ° cosx = 1 lúc

*

 ° cosx = -1 khi

*

+ Đồng thị hàm số y = cosx bao gồm dạng:

*

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π.

- Hàm số y = tanx nhận những giá trị đặc biệt:

 ° tanx = 0 khi 

 ° tanx = 1 lúc

 ° sinx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = tanx gồm dạng:

*

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:

*

+ Tập xác định: 

*

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần trả với chu kỳ luân hồi π.

- Hàm số y = cotx nhận những giá trị sệt biệt:

 ° cotx = 0 lúc

 ° cotx = 1 khi 

 ° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx tất cả dạng:

*

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: kiếm tìm tập xác minh của hàm số

* Phương pháp:

- Tìm điều kiện của biến chuyển số x để hàm số khẳng định và chăm chú đến tập xác định của các hàm con số giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Tìm tập xác minh của hàm số:

a) b)

c) d)

° Lời giải bài 2 (trang 17 SGK Đại số với Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

- Kết luận: Tập xác minh của hàm số là D = Rkπ, k ∈ Z.

b) Hàm số  xác định:

*
 (1)

- vị -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

*
 
*
 
*

- vì chưng đó, (1) ⇔ (1 - cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

- Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là D = Rk2π, k ∈ Z.

c) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là:

*
 

d) Hàm số  xác định:

 

*

 

*

- Kết luận: Vậy tập khẳng định của hàm số là:

 

*
 

° Dạng 2: xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để khẳng định hàm số y=f(x) là hàm chẵn giỏi lẻ, ta có tác dụng như sau:

 Bước 1: Tìm tập khẳng định D của hàm y=f(x)

 Bước 2: cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta chứng minh -x ∈ D

 Bước 3: Tính f(-x):

◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

◊ nếu như f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

◊ ví như có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 Ví dụ 1: điều tra khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

*

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng đều có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx - 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + 2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng đều có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ cùng với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng đều có -x ∈ D

+ Ta xét với 

*

*
*

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* lưu lại ý: Để chứng tỏ hàm số y=f(x) ko chẵn (hoặc ko lẻ) thì ta cần chỉ ra gồm tồn trên x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để chứng minh y=f(x) (có tập khẳng định D) tuần hoàn, cần chứng tỏ có T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x - T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ đưa sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, nhằm tìm chu kỳ tuần trả ta đề nghị tìm số dương T bé dại nhất vừa lòng 2 đặc điểm 1) cùng 2) làm việc trên.

 Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần trả với chu kỳ π.

* Lời giải: 

- Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x - π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ đưa sử tất cả a, cùng với 0 • Ví dụ 2: Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn cùng tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.

* Lời giải: 

- Hàm số:

+ TXĐ:

*
 
*

⇒ 

*
*

+ Ta có: 

*

+ Ta có: 

*
 
*
 
*
 

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

Xem thêm: Ransomware Wannacry Là Gì? Cách Phòng Chống Như Thế Nào? ? Hướng Dẫn Cách Phòng Chống Wannacry

+ giả sử có a:

*

+ Hàm 

*

 Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng vươn lên là và khoảng nghịch đổi mới của hàm số y = |sinx| bên trên đoạn <0;2π>.

* Lời giải: 

+ Từ thiết bị thị hàm số y = |sinx| làm việc trên, ta xét vào đoạn<0;2π> , ta có:

 - Hàm số đồng biến đổi khi 

*

 - Hàm số nghịch đổi mới khi 

*

° Dạng 5: Tìm giá trị lớn số 1 (GTLN), giá chỉ trị bé dại nhất (GTNN) của hàm con số giác

* Phương pháp:

- Vận dụng tính chất: -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của những hàm số sau: