Nội dung bài Một số phương trình lượng giác thường gặp mặt sẽ ra mắt đên các em dạng và phương thức giải những Phương trình hàng đầu với một hàm con số giác,Phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx với cosx. Thông qua các lấy ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm rõ được nội dung phần này, khiến cho tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

Bạn đang xem: Một số phương trình lượng giác thường gặp lớp 11


1. Bắt tắt lý thuyết

1.1. Phương trình số 1 với một hàm số lượng giác

1.2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

1.3. Phương trình số 1 đối cùng với sinx và cosx

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 3 chương 1 giải tích 11

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường xuyên gặp

3.2 bài bác tập SGK và nâng cấp về phương trình lượng giác thường gặp

4.Hỏi đáp bài 3 chương 1 giải tích 11


*

a) Định nghĩa:

Phương trình hàng đầu đối với một hàm số lượng giác là phương trình gồm dạng (at + b = 0) trong số đó a,b là các hằng số (left( a e 0 ight))và t là một trong trong những hàm con số giác.

Ví dụ: (2sin x - 1 = 0,;,,,c mos2x + frac12 = 0;,,,3 an x - 1 = 0;,,sqrt 3 cot x + 1 = 0)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.


a) Dạng phương trình

(eginarraylasin ^2x + bsin x + c = 0\acos ^2x + bcos x + c = 0\a an ^2x + b an x + c = 0\acot ^2x + bcot x + c = 0endarray)

b) bí quyết giải

Đặt:

(t = sin x m ( - 1 le mt le m1))

(eginarraylt = cos x m ( - 1 le mt le m1)\t = an x\t = cot xendarray)

c) Chú ýNếu a là một trong những cho trước mà lại ( an alpha ) khẳng định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = (alpha + )kp thoả điều kiện (cos x e 0).Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải để ý đến điều kiện cosP(x) ( e) 0 với cosQ(x) ( e)0.

1.3. Phương trình số 1 đối cùng với sinx cùng cosx


a) Dạng phương trình

(asin x + bcos x = c m (1))

Điều kiện tất cả nghiệm: (a^2 + b^2 ge c^2)

b) bí quyết giảiCách 1: Chia nhị vế của (1) mang đến (sqrt a^2 + b^2 ), ta được:

(left( 1 ight) Leftrightarrow fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Vì (left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1) phải ta để (left{ eginarray*20csin varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \cos varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow cos left( x - varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Đặt (cos alpha = fraccsqrt a^2 + b^2 ) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Xem thêm: Ôn Tập Về Hình Học Lớp 3 - Luyện Tập Ôn Tập Về Hình Học Toán Lớp 3

Hoàn toàn tựa như ta cũng hoàn toàn có thể đặt (left{ eginarraylcos varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \sin varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Khi kia phương trình trở thành: (mathop m sinxcos olimits varphi + cosxsinvarphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow sin left( x + varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Cách 2:

· Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi , m k in mathbbZ) có là nghiệm của (1) không

· Xét (cos fracx2 e 0 Leftrightarrow x e pi + k2pi ,k in mathbbZ)

Đặt (t = an fracx2). Khi đó (sin x = frac2t1 + t^2) với (cos x = frac1 - t^21 + t^2)

Phương trình trở thành:

(a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 - t^21 + t^2 = c Leftrightarrow left( b + c ight)t^2 - 2at + c - b = 0 m (2))

Giải (2) theo t, tìm kiếm được t vậy vào (t = an fracx2) suy ra x

Cách 3:

Nếu (a e 0) phân chia 2 vế đến a rồi ta để ( an alpha = fracba) (left( { - fracpi 2 Ví dụ: 1

Giải các phương trình sau:

a) (2sin x - 1 = 0,.)

b) (c mos2x + frac12 = 0.)

c) (3 an x - 1 = 0.)

d) (sqrt 3 cot x + 1 = 0.)

e) (2cos x - sin 2x = 0)

Hướng dẫn giải:

a) (2sin x - 1 = 0, Leftrightarrow sin x = frac12 Leftrightarrow sin x = sin fracpi 6 Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 6 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

b) (c mos2x + frac12 = 0 Leftrightarrow c mos2x = frac - 12 Leftrightarrow c mos2x = cos frac2pi 3)

( Leftrightarrow 2x = pm frac2pi 3 + k2pi left( k in mathbbZ ight) Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi left( k in mathbbZ ight))

c) (3 an x - 1 = 0 Leftrightarrow an x = frac13 Leftrightarrow x = arctan frac13 + kpi left( k in mathbbC ight))

d) (sqrt 3 cot x + 1 = 0 Leftrightarrow cot x = frac - 1sqrt 3 Leftrightarrow cot x = cot frac2pi 3 Leftrightarrow x = frac2pi 3 + kpi left( k in mathbbZ ight))

e) (cos x - sin 2x = 0 Leftrightarrow cos x - 2sin xcos x = 0 Leftrightarrow cos xleft( 1 - 2sin x ight) = 0)

( Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 0\1 - 2sin x = 0endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 0\sin x = frac12endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 2 + kpi \x = fracpi 6 + lpi \x = frac5pi 6 + lpi endarray ight.left( k,l in mathbbZ ight))

Ví dụ 2:

Giải những phương trình sau:

a) (2sin ^2x + sin x - 3 = 0)

b) (cos^2x + 3cosx - 1 = 0)

c) (3sin 2^2x + 7cos 2x - 3 = 0)

d) (frac1cos ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)

Hướng dẫn giải:

a) (2sin ^2x + sin x - 3 = 0(1))

Đặt (t = sin x), điều kiện (left| t ight| le 1). Phương trình (1) trở thành:

(2t^2 + t - 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = 1;left( nhan ight)\t = frac32;left( loai ight)endarray ight.)

Với t=1, ta được (sin x = 1 Leftrightarrow x = k2pi left( k in mathbbZ ight))

b) (cos^2x + 3cosx - 1 = 0left( 2 ight))

Đặt (t = c mosx), đk (left| t ight| le 1). Phương trình (2) trở thành:

(t^2 + 3t - 1 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = frac - 3 + sqrt 13 2left( nhan ight)\t = frac - 3 - sqrt 13 2left( loai ight)endarray ight.)

Với (t = frac - 3 + sqrt 13 2) ta được (c mosx = frac - 3 + sqrt 13 2 Leftrightarrow x = pm arccos frac - 3 + sqrt 13 2 + k2pi left( k in mathbbZ ight))

c) (3sin ^22x + 7cos 2x - 3 = 0 Leftrightarrow 3left( 1 - cos ^22x ight) + 7cos 2x - 3 = 0)

(eginarrayl Leftrightarrow 3cos ^22x - 7cos 2x = 0 Leftrightarrow cos 2xleft( 3cos 2x - 7 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylcos 2x = 0\3cos 2x - 7 = 0endarray ight.endarray)

*) Giải phương trình:(cos 2x = 0 Leftrightarrow 2x = fracpi 2 + kpi Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2,left( k in mathbbZ ight))

*) Giải phương trình: (3cos 2x - 7 = 0 Leftrightarrow cos 2x = frac73)

Vì (frac73 > 1) nên phương trình (3cos 2x - 7 = 0) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho rằng (x = fracpi 4 + kfracpi 2,left( k in mathbbZ ight))

d) (frac1cos ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)

Điều kiện: (cos x e 0) (*)

(3)( Leftrightarrow 1 + an ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)( Leftrightarrow an ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x + sqrt 3 = 0)

Đặt (t = an x)

Khi đó phương trình trở thành: (t^2 - left( 1 + sqrt 3 ight)t - sqrt 3 = 0)( Leftrightarrow left< eginarray*20ct = 1\t = sqrt 3 endarray ight.)

+ với (t = 1 Leftrightarrow an x = 1)( Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi ,k in mathbbZ)

+ cùng với (t = sqrt 3 Leftrightarrow an x = sqrt 3 )( Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,k in mathbbZ)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: (x = fracpi 4 + kpi ),

(x = fracpi 3 + kpi ) (left( k in mathbbZ ight))

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) (sqrt 2 sin 3x + sqrt 6 cos 3x = 2)

b) (left( 2 + sqrt 3 ight)sin x - cos x = 2 + sqrt 3 )

c) (2sqrt 2 left( sin x + cos x ight)cos x = 3 + cos 2x)

Hướng dẫn giải:

a) (sqrt 2 sin 3x + sqrt 6 cos 3x = 2(1))

(1)( Leftrightarrow sin 3x + sqrt 3 cos 3x = sqrt 2 )( Leftrightarrow sin 3x + an fracpi 3cos 3x = sqrt 2 )

( Leftrightarrow sin 3xcos fracpi 3 + sin fracpi 3cos 3x = sqrt 2 cos fracpi 3 Leftrightarrow sin left( 3x + fracpi 3 ight) = fracsqrt 2 2)

( Leftrightarrow left< eginarray*20c3x + fracpi 3 = fracpi 4 + k2pi \3x + fracpi 3 = frac3pi 4 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c3x = - fracpi 12 + k2pi \3x = frac5pi 12 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20cx = - fracpi 36 + frack2pi 3\x = frac5pi 36 + frack2pi 3endarray ight.,k in mathbbZ)

Vậy nghiệm của (1) là (x = - fracpi 36 + frack2pi 3), (x = frac5pi 36 + frack2pi 3) (left( k in mathbbZ ight))

b) (left( 2 + sqrt 3 ight)sin x - cos x = 2 + sqrt 3 ) (2)

Ÿ Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi ) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét (cos fracx2 e 0)

Đặt (t = an fracx2). Khi ấy (sin x = frac2t1 + t^2) và (cos x = frac1 - t^21 + t^2)

Phương trình (2) trở thành: (left( 2 + sqrt 3 ight)frac2t1 + t^2 - frac1 - t^21 + t^2 = 2 + sqrt 3 )

(eginarrayl Leftrightarrow left( 2 + sqrt 3 ight)2t - 1 + t^2 = left( 2 + sqrt 3 ight)left( 1 + t^2 ight)\ Leftrightarrow left( 1 + sqrt 3 ight)t^2 - 2left( 2 + sqrt 3 ight)t + 3 + sqrt 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20ct = 1\t = sqrt 3 endarray ight.endarray)

+ với (t = 1 Leftrightarrow an fracx2 = 1)( Leftrightarrow fracx2 = fracpi 4 + kpi Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,k in mathbbZ)

+ Với(t = sqrt 3 Leftrightarrow an fracx2 = sqrt 3 )( Leftrightarrow fracx2 = fracpi 3 + kpi Leftrightarrow x = frac2pi 3 + k2pi ,k in mathbbZ)

Vậy nghiệm của (2) là (x = fracpi 2 + k2pi ), (x = frac2pi 3 + k2pi )(left( k in mathbbZ ight))

c) (2sqrt 2 left( sin x + cos x ight)cos x = 3 + cos 2x) (3)

(3)( Leftrightarrow 2sqrt 2 sin xcos x + 2sqrt 2 cos ^2x = 3 + cos 2x)

( Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 left( 1 + cos 2x ight) = 3 + cos 2x)

( Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + left( sqrt 2 - 1 ight)cos 2x = 3 - sqrt 2 )

Điều kiện bao gồm nghiệm của phương trình: (a^2 + b^2 ge c^2)

Khi đó: (2 + left( sqrt 2 - 1 ight)^2 ge left( 3 - sqrt 2 ight)^2 Leftrightarrow 5 - 2sqrt 2 ge 11 - 6sqrt 2 ) (không thỏa)