Lý thuyết

1. §1. Phương pháp quy hấp thụ toán học

2. §2. Dãy số

3. §3. Cấp số cộng

4. §4. Cấp số nhân

Bài tập Ôn tập chương III

*

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, hàng số giảm?

Trả lời:

Xét cấp số cộng ((u_n)) với (u_n+1= u_n+ d)

Ta có: (u_n+1– u_n= d)

Nếu (d > 0Rightarrow u_n+1> u_n)

Nếu (d 0); sút nếu (d

2. Giải bài xích 2 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho cấp cho số nhân bao gồm (u_1 0)?

b) (q 0 hfill cr u_1 0) khi (n – 1) lẻ.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 đại số 11

3. Giải bài xích 3 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hai cung cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng những số hạng tương ứng của chúng bao gồm lập thành một cấp cho số cộng không? do sao? cho ví dụ minh họa.

Trả lời:

Gọi ((u_n)) với ((a_n)) là hai cung cấp số cộng gồm công không đúng lần lượt là (d_1) cùng (d_2)và có cùng (n) số hạng.

Ta có:

(u_n= u_1+ (n-1)d_1)

(a_n= a_1+ (n-1)d_2)

(Rightarrow u_n+ a_n= u_1 +a_1+ (n – 1).(d_1+ d_2))

Vậy (u_n+ a_n) là cung cấp số cộng gồm số hạng đầu là (u_1+a_1) với công không nên là (d_1+d_2)

Ví dụ:

(2, 4, 6, 8 ,…) là cấp số cộng bao gồm công không nên (d_1= 2)

(0, 5, 10, 15,…) là cấp số cộng tất cả công không nên (d_2= 5)

(⇒ 2, 9, 16, 23 ,…) là cấp số cộng có công không đúng là (d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7).

4. Giải bài bác 4 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hai cung cấp số nhân tất cả cùng số các số hạng. Tính các số hạng khớp ứng của chúng có lập thành cung cấp số nhân không? bởi vì sao? cho một ví dụ minh họa.

Trả lời:

Ta gồm ((a_n)) là cấp cho số nhân với ((b_n)) là cấp số nhân tương ứng.

Ta có:

(a_n = a_1.q_1^n – 1,q_1) là hằng số

(b_n = b_1.q_1^n – 1,q_2) là hằng số

Khi đó: (a_n.b_n = = a_1.q_1^n – 1.b_1.q_1^n – 1 = (a_1b_1)(q_1q_2)^n – 1)

Vậy dãy số (a_nb_n) là 1 cấp số nhân bao gồm công bội : (q = q_1.q_2)

Ví dụ:

(1, 5, 25 ,…) là cấp số nhân có công bội (q_1= 5)

(3, 9, 27, …) là cấp cho số nhân có công bội (q_2= 3)

Suy ra: (3, 45, 675…) là cấp số nhân bao gồm công bội: (q = q_1q_2= 5.3 = 15).

5. Giải bài 5 trang 107 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng với tất cả (nin mathbb N^*), ta có:

a) (13^n-1) phân tách hết cho 6;

b) (3n^3+ 15n) phân chia hết mang đến 9.

Bài giải:

a) với (n = 1), ta có:

(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6)

Giả sử: ((13^k- 1) ⋮ 6) với đa số (k ≥ 1)

Ta hội chứng minh: (13^k+1– 1) chia hết mang lại (6)

Thật vậy:

(13^k + 1-1= 13^k + 1-13^k + 13^k – 1 = 12.13^k + 13^k-1)

Vì : (12.13^k ⋮ 6) và ((13^k– 1) ⋮ 6) (theo mang thiết quy nạp)

(Rightarrow (13^k+1– 1) ⋮ 6)

Vậy ((13^n-1)) chia hết mang lại 6

b) với (n = 1), ta có: (3.1^3+ 15.1 = 18 ⋮ 9)

Giả sử: ((3k^3+ 15k) ⋮ 9).

Ta bệnh minh: (<3(k + 1)^3+ 15(k + 1)> ⋮ 9)

Thật vậy:

(3left( k + 1 ight)^3 + 15left( k + 1 ight) )

(= 3.(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 15left( k + 1 ight))

(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18)

(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2))

Vì ((3k^3 + 15k) ⋮ 9)(theo đưa thiết quy nạp) với (9(k^2+ k + 2) ⋮ 9)

(Rightarrow <3(k + 1)^3+ 15(k + 1)> ⋮ 9)

Vậy: (3n^3+ 15n) phân tách hết đến 9 với đa số (nin mathbb N^*)

6. Giải bài bác 6 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho dãy số ((u_n)), biết (u_1= 2, u_n+1 =2u_n– 1)(với (n ≥ 1))

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) chứng minh: (u_n= 2^n-1+ 1)bằng cách thức quy nạp.

Bài giải:

a) Ta bao gồm năm số hạng đầu của hàng là:

(u_1 = 2)

(u_2 = 2u_1-1 = 2.2-1=3)

(u_3 = 2u_2-1 = 2.3-1=5)

(u_4 = 2u_3 – 1 = 2.5-1=9)

(u_5 = 2u_4-1 = 2.9-1=17)

b) với (n = 1), ta có: (u_1= 2^1-1+ 1 = 2) phương pháp đúng.

Giả sử cách làm đúng cùng với (n = k)

Hay (u_k = 2^k – 1 + 1)

Ta chứng minh công thức cũng đúng với (n = k + 1)

Hay là ta nên phải chứng minh (u^k + 1 = 2^left( k + 1 ight) – 1 + 1 = 2^k + 1)

Ta có: (u_k + 1 = 2u_k – 1 = 2(2^k – 1 + 1) – 1 = 2.2^k – 1 + 2-1 = 2^k + 1) (đpcm)

Vậy (u_n= 2^n-1+ 1) với tất cả (nin mathbb N^*).

7. Giải bài 7 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của những dãy số ((u_n)), biết:

a) (u_n = n + 1 over n);

b) (u_n = ( – 1)^nsin 1 over n);

c) (u_n = sqrt n + 1 – sqrt n ).

Bài giải:

a) Xét hiệu:

$u_n +1 -u_n= left ( n+1+frac1n+1 ight ) – left ( n+frac1n+1 ight )$

(= 1 + frac1n+1 – frac1n = fracn^2+n-1n(n+1),n in N^*)

Vậy (u_n) là dãy số tăng (1)

Ta lại có: (u_n = n + 1 over n ge 2sqrt n.1 over n = 2,forall n in N^*)

Nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi (n) càng béo thì (u_n) càng lớn yêu cầu (u_n) là hàng số không trở nên chặn trên (3)

Từ (1), (2), (3) ta gồm (u_n) là dãy số tăng với bị ngăn dưới.

b) Ta có:

(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0)

$u_2=(-1)^1.sinfrac12=-sinfrac120$

$Rightarrow u_1> u_2$và $u_2 sqrt n + 1 hfill cr sqrt n + 1 > sqrt n hfill cr} ight.)

(Rightarrow sqrt n + 2 + sqrt n + 1 > sqrt n + 1 + sqrt n )

(Rightarrow 1 over sqrt n + 2 + sqrt n + 1 0,forall n in N*)

Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: cùng với n ≥ 1 thì (sqrt n + 1 + sqrt n ge sqrt 2 + 1)

Nên (u_n = 1 over sqrt n + 1 + sqrt n le 1 over sqrt 2 + 1)

Suy ra: (u_n) là hàng số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) cùng (3) ta có: (u_n) là hàng số sút và bị chặn.

8. Giải bài 8 trang 107 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm số hạng đầu (u_1) và công không đúng (d) của các cấp số cùng (un) biết:

a) (left{ matrix5u_1 + 10u_5 = 0 hfill cr S_4 = 14 hfill cr ight.)

b) (left{ matrixu_7 + u_15 = 60 hfill cr u_4^2 + u_12^2 = 1170 hfill cr ight.)

Bài giải:

a) Ta có:

(left{ matrix 5u_1 + 10u_5 = 0 hfill cr S_4 = 14 hfill cr ight.)

$Leftrightarrow left{eginmatrix5u_1+10(u_1+4d)=0 & \ frac4(2u_1+3d)2=14 và endmatrix ight.$

(Leftrightarrow left{ matrix3u_1 + 8d = 0 hfill cr 2u_1 + 3 chiều = 7 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrixu_1 = 8 hfill cr d = – 3 hfill cr ight.)

Vậy số hạng đầu (u_1= 8), công không đúng (d = -3)

b) Ta có:

(left{ matrix u_7 + u_15 = 60 hfill cr u_4^2 + u_12^2 = 1170 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix (u_1 + 6d) + (u_1 + 14d) = 60 (1) hfill cr (u_1 + 3d)^2 + (u_1 + 11d)^2 = 1170 (2) hfill cr ight.)

Giải phương trình (1) ta được:

(2u_1+ 20d = 60 Leftrightarrow u_1= 30 – 10d)

Thế vào phương trình (2) ta được phương trình (2) tương đương:

(<(30 – 10d) + 3d>^2+ <(30 – 10d) + 11d>^2= 1170)

(Leftrightarrow (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170)

(Leftrightarrow 900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170)

(Leftrightarrow 50d^2– 360d + 630 = 0)

( Leftrightarrow left< matrixd = 3 Rightarrow u_1 = 0 hfill cr d = 21 over 5 Rightarrow u_1 = – 12 hfill cr ight.)

Vậy (left{ matrix u_1 = 0 hfill cr d = 3 hfill cr ight.)hoặc (left{ matrix u_1 = – 12 hfill cr d = 21 over 5 hfill cr ight.)

9. Giải bài xích 9 trang 107 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm số hạng đầu (u_1) và công bội của những cấp số nhân ((u_n)), biết:

a) (left{ matrixu_6 = 192 hfill cr u_7 = 384 hfill cr ight.)

b)(left{ matrixu_4 – u_2 = 72 hfill cr u_5 – u_3 = 144 hfill cr ight.)

c) (left{ matrixu_2 + u_5 – u_4 = 10 hfill cr u_3 + u_6 – u_5 = trăng tròn hfill cr ight.)

Bài giải:

a) Ta có: (left{ matrix u_6 = 192 hfill cr u_7 = 384 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q^5 = 192 (1) hfill cr u_1.q^6 = 384 (2) hfill cr ight.)

Lấy (2) phân chia (1) theo vế khớp ứng ta được: (q = 2)

Thế vào (1) ta được

(Leftrightarrow u_1.2^5= 192 Leftrightarrow u_1= 6)

Vậy (u_1= 6; q = 2).

b) Ta có: (left{ matrix u_4 – u_2 = 72 hfill cr u_5 – u_3 = 144 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q^3 – u_1.q = 72 hfill cr u_1.q^4 – u_1.q^2 = 144 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q(q^2 – 1) = 72 (1) hfill cr u_1.q^2(q^2 – 1) = 144 (2) hfill cr ight.)

Lấy (2) chia (1) theo vế khớp ứng ta được: (q = 2)

Thế vào (1) ta được:

(Leftrightarrow 2u_1(4 – 1) = 72 Leftrightarrow u_1= 12)

Vậy (u_1= 12; q = 2)

c) Ta có: (left{ matrix u_2 + u_5 – u_4 = 10 hfill cr u_3 + u_6 – u_5 = 20 hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1.q + u_1.q^4 – u_1.q^3 = 10 hfill cr u_1.q^2+u_1.q^5-u_1.q^4 = trăng tròn hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix u_1q(1 + q^3 – q^2) = 10 (1) hfill cr u_1q^2(1 + q^3 – q^2) = 20 (2) hfill cr ight.)

Lấy (2) chia (1) theo vế khớp ứng ta được: (q = 2)

Thế vào (1) ta được:

(1) (Leftrightarrow 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 Leftrightarrow u_1= 1)

Vậy (u_1= 1; q = 2)

10. Giải bài bác 10 trang 108 sgk Đại số với Giải tích 11

Tứ giác (ABCD) tất cả số đo (độ) của những góc lập thành một cung cấp số cộng theo sản phẩm công nghệ tự (A, B, C, D). Biết rằng góc (C) gấp tư lần góc (A). Tính các góc của tứ giác.

Bài giải:

Theo giả thiết ta có: (A, B, C, D) là 1 trong cấp số cộng và (widehat C = 4widehat A)

Giả sử cấp số cộng tạo ra thành tất cả công sai là: (d).

Theo đặc thù của cấp cho số cùng ta có:

$left{eginmatrixwidehat B=widehat A+d & \ widehat C=widehat A+2d và \ widehat D=widehat A+3d & endmatrix ight.$

(Rightarrow widehat A+2d= 4widehat ALeftrightarrow 3widehat A-2d=0) (1)

Ta lại có: (widehat A+widehat B+ widehat C+widehat D=360^0)

(Leftrightarrow 4widehat A +6d=360^0) (2)

Ta được hệ: $left{eginmatrix3widehat A-2d=0 và \ 4widehat A +6d=360^0 & endmatrix ight.$

$Leftrightarrow left{eginmatrixd=41,5^0 và \ widehat A = 27,7^0=27^042′ và endmatrix ight.$

$Rightarrow widehat B=widehat A+d=27,7^0+41,5^0=69,2^0=69^012’$

$Rightarrow widehat C=widehat A+2d=27,7^0+2.41,5^0=110,7^0=110^042’$

$Rightarrow widehat D=widehat A+3d=27,7^0+3.41,5^0=152,2^0=152^012’$

Vậy (widehat A = 27^042′; widehat B = 69^012′ ; widehat C = 110^042′ ; widehat D = 152^012′ ).

11. Giải bài bác 11 trang 108 sgk Đại số với Giải tích 11

Biết rằng ba số (x, y, z) lập thành một cung cấp số nhân và ba số (x, 2y, 3z) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cung cấp số nhân.

Bài giải:

Ba số (x, y, z) lập thành một cấp số nhân phải ta có:

(y = x.q; z = y.q = x.q^2),với q là công bội

Ba số (x, 2y, 3z) lập thành một cung cấp số cộng đề xuất ta có:

(x + 3z = 4y)

(Leftrightarrow x + 3.(xq^2) = 4.(xq))

(Leftrightarrow x. (1 + 3q^2– 4q) = 0)

(Leftrightarrow x = 0)

Hay (3q^2– 4q + 1 = 0)

Nếu $x = 0$thì (x = y= z= 0), q là một số trong những tùy ý

Nếu (x ≠ 0)thì:

(3q^2- 4q + 1 = 0)

(Leftrightarrow left< matrix q = 1 hfill cr q = 1 over 3 hfill cr ight.)

Vậy công bội của cung cấp số nhân là $q=1$hoặc $q=frac13$

12. Giải bài xích 12 trang 108 sgk Đại số và Giải tích 11

Người ta xây dựng một tháp có $11$ tầng. Diện tích mặt phẳng trên của mỗi tầng bởi nửa diện tích mặt bên trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng trệt dưới bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là (12 288) (m^2). Tính diện tích s mặt bên trên cùng.

Bài giải:

Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu:

(u_1= 12 288) (m^2) cùng công bội (q = 1 over 2)

Vậy diện tích s mặt trên thuộc là:

(u_12 = u_1.q^12-1 =u_1.q^11= 12288.(1 over 2)^11 = 6m^2)

13. Giải bài bác 13 trang 108 sgk Đại số với Giải tích 11

Chứng minh rằng nếu những số (a^2,b^2,c^2)lập thành một cung cấp số cùng ((abc ≠ 0))thì các số (1 over b + c,1 over c + a;1 over a + b) cũng lập thành một cung cấp số cộng.

Bài giải:

Ta đề xuất chứng minh: (1 over b + c + 1 over a + b = 2 over c + a)

Biến đổi ta có:

(1 over b + c + 1 over a + b = 2 over c + a)

(Leftrightarrow 1 over b + c – 1 over c + a = 1 over c + a – 1 over a + b)

(Leftrightarrow c + a – b – c over (c + a)(b + c) = a + b – c – a over (c + a)(a + b))

(Leftrightarrow a – b over b + c = b – c over a + b)

(Leftrightarrow a^2 – b^2 = b^2 – c^2)

$Leftrightarrow a^2 + c^2 = 2b^2$

Do đó (1 over b + c + 1 over a + b = 2 over c + a) đúng bởi (a^2,b^2,c^2) lập thành cấp số cộng.

Vậy (1 over b + c,1 over c + a;1 over a + b) là cung cấp số cộng.

Bài tập trắc nghiệm

14. Giải bài xích 14 trang 108 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàng số ((u_n)), biết (u_n= 3^n). Nên chọn phương án đúng:

a) Số hạng (u_n+1) bằng:

(A) (3^n+1) ; (B) (3^n+ 3) ; (C) (3^n.3) ; (D) (3(n+1)).

b) Số hạng (u_2n) bằng:

(A) (2.3^n) ; (B) (9^n) ; (C) (3^n+ 3) ; (D) (6n).

c) Số hạng (u_n-1) bằng:

(A) (3^n-1) ; (B) (1over 3.3^n) ; (C) (3^n– 3) ; (D) (3n – 1).

d) Số hạng (u_2n-1) bằng:

(A) (3^2.3^n-1) ; (B) (3^n.3^n-1) ; (C) (3^2n- 1) ; (D) (3^2(n-1)).

Trả lời:

a) Ta có: (u_n + 1 = 3^n + 1 = 3^n.3)

⇒ lựa chọn đáp án: (C).

b) Ta có: (u_2n = 3^2n = (3^2)^n = 9^n),

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

c) Ta có: (u_n – 1 = 3^n – 1 = 3^n.3^ – 1 = 3^n over 3)

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

d) Ta có: (u_2n – 1 = 3^2n – 1=3^n.3^n-1)

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

15. Giải bài bác 15 trang 108 sgk Đại số với Giải tích 11

Hãy cho thấy dãy số ((u_n)) như thế nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết phương pháp số hạng tổng thể (u_n) của nó là:

(A) (( – 1)^n + 1.sin pi over n) ;(B) (( – 1)^2n(5^n + 1)) ;
(C) (1 over sqrt n + 1 + n) ;(D) (n over n^2 + 1).

Trả lời:

Xét từng cách thực hiện ta có:

Phương án (A) ko được bởi vì dãy số tất cả chứa nhân tử (left( – 1 ight)^n + 1)

Nên các số hạng sẽ sở hữu được dấu (-); (+) xen kẽ, vị đó, (u_n) quan trọng là hàng số tăng.

Phương án (C) :

(eqalign và u_3 = 1 over sqrt 3 + 1 + 1 = 1 over 3 cr và u_8 = 1 over sqrt 8 + 1 + 1 = 1 over 4 cr )

(⇒ u_8 0, ∀ n ∈ mathbb N^*)

(Rightarrow u_n) là hàng số tăng

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

16. Giải bài bác 16 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho cấp cho số cộng (-2, x, 6, y). Hãy chọn kết quả đúng vào các tác dụng sau:

(A) (x = -6, y = -2) ;(B) (x = 1, y = 7) ;
(C) (x = 2, y = 8) ;(D) (x = 2, y = 10).

Trả lời:

Theo giả thiết: (-2, x, 6, y) là cấp cho số cộng.

(Rightarrow left{ matrix 2x = ( – 2) + 6 hfill cr 2.6 = x + y hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix x = 2 hfill cr y = 10 hfill cr ight.)

⇒ lựa chọn đáp án: (D).

17. Giải bài 17 trang 109 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho cấp cho số nhân (-4, x, -9). Hãy chọn hiệu quả đúng vào các kết quả sau:

((A) x = 36) ;((B) x = -6,5) ;((C) x = 6) ;((D) x -36).

Trả lời:

Ta có: (-4, x, -9) là tía số hạng của một cấp cho số nhân nên:

(x^2= (-4). (-9) = 36)

(Leftrightarrow x = 6)

⇒ lựa chọn đáp án: (C).

18. Giải bài xích 18 trang 109 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho cấp cho số cộng ((u_n)). Hãy lựa chọn hệ thức đúng trong số hệ thức sau:

(A) (u_10 + u_20 over 2 = u_5 + u_10) ;

(B) (u_90 + u_210 = 2u_150) ;

(C) (u_10u_30 = m5 u_20) ;

(D) (u_10.u_30 over 2 = u_20).

Trả lời:

Ta có:

(left{ matrixu_90 = u_1 + 89d hfill cr u_210 = u_1 + 209d hfill cr ight.)

(Rightarrow u_90 + u_210 = 2u_1 + 298d)

(Rightarrow u_90 + u_210 over 2 = u_1 + 149d = u_150)

⇒ lựa chọn đáp án: (B).

19. Giải bài bác 19 trang 109 sgk Đại số với Giải tích 11

Trong các dãy số cho bởi phương pháp truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:

(A) (left{ matrixu_1 = 2 hfill cr u_n + 1 = u_n^2 hfill cr ight.)

(B) (left{ matrixu_1 = – 1 hfill cr u_n + 1 = 3u_n hfill cr ight.)

(C) (left{ matrixu_1 = – 3 hfill cr u_n + 1 = u_n + 1 hfill cr ight.)

(D) (7,77,777,….underbrace 777..77_n)

Trả lời:

Ta có:

(left{ matrix u_1 = – 1 hfill cr u_n + 1 = 3u_n hfill cr ight.)

(Rightarrow left{ matrix u_n e 0 hfill cr u_n + 1 over u_n = 3 hfill cr ight.)

Dãy ((u_n)) là cung cấp số nhân công bội (q = 3).

Xem thêm: Giải Bài 6 Trang 29 Sgk Toán 11 : Với Những Giá Trị Nào Của X?

⇒ chọn đáp án: (B).

Bài trước:

Bài tiếp theo: