*

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi như thế nào thì cung cấp số cùng là hàng số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Ta có: un+1 – un = q => (un) là hàng số tăng nếu như công sai q > 0, hàng số giảm nếu công không nên q 1  0

b.q n = u1.qn-1 ∀n > 1, q > 0, u1 un 1

b.Nếu q n = u1.qn-1 = (-1)n .|u1|.|qn-1| ∀ n > 1

un > 0 giả dụ n chẵn, cùng un n), (vn) bao gồm công không nên lần lượt là d1, d2 cùng những số hạng bằng nhau, nghĩa là:

u1, u2, …, un (1) và v1, v2,…, vn (2)

Xét hàng số (an) với an = un + vn , n ∈ N*

a1 = u1 + v1

a2 = u2 + v2 = u1 + d1 + v1 + d2 = (u1 + v1 ) + (d1 + d2)

an = un + vn = u1 + (n – 1)d1 + v1 + ( n – 1)d2

= (u1 + v1) + (n – 1)(d1 + d2)

Điều đó cho biết thêm dãy số mà mỗi số hạng là tổng các số hạng khớp ứng của hai cấp cho số cùng (1) cùng (2) cũng là một trong những cấp số cùng với công sai bởi tổng những công không đúng của hai cung cấp số cộng kia.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 toán 11

Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: d1 = 3

20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d2 = – 2

Dãy tổng những số hạng tương ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cung cấp số cộng tất cả công sai

d = d1 + d2 = 3 + (-2) = 1.

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp cho số nhân tất cả cùng những số hạng. Tích những số hạng khớp ứng của chúng có lập thành cấp cho số nhân không? do sao? cho 1 ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử có hai cấp cho số nhân (un), (vn) với công bội khớp ứng q1 và q2.

Xét dãy số (an) cùng với an = un.vn

Ta có: un = u1.q1n-1 vn = v1.q2n-1

an = un.vn = (u1v1).(q1q2)n-1

vậy dãy số (an) là cấp cho số nhân cùng với công bội q = q1q2.

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với đa số n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 chia hết đến 6

b. 3n3 + 15 phân chia hết mang lại 9

Lời giải:

a. Xét un = 13n – 1

ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 phân tách hết 6

giả sử: uk = 13k – 1 phân tách hết mang lại 6

Ta có: uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk

=> uk+1 là tổng hai số hạng, mỗi số hạng chia hết cho 6.

Vậy uk+1 chia hết số 6

Như vậy, mỗi số hạng của dãy số (un) đa số chia hết mang lại 6 ∀n ∈ N*

b. 3n3 + 15n chia hết đến 9

Đặt un = 3n3 + 15n

+ cùng với n = 1 => u1 = 18 chia hết 9

+ đưa sử cùng với n = k ≥ 1 ta có:

uk = (3k2 + 15k) phân chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: uk+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 ) = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18 = (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Theo trả thiết uk chia hết 9, không chỉ có vậy 9(k2 + k + 2) phân tách hết 9 k ≥ 1

Do kia uk+1 cũng chia hết mang lại 9.

Vậy un = 3n3 + 15n phân chia hết mang lại 9 ∀n ∈ ∈ N*

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu hàng là:

u1 = 2; u2 = 2u1 – 1 = 3; u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Bệnh minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương thức quy nạp:

Với n = 1 => u1 = 21-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (un) đúng với n = k ≥ 1

Tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta phải chứng tỏ phương trình đã mang đến đúng cùng với n = k + 1 nghĩa là:

uk+1 = 2k+1-1 + 1 = 2k + 1

Theo giả thiết: uk+1 =2uk-1

(1) uk+1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k.2-1 + 2 – 1 = 2k + 1

Biểu thức đã mang lại đúng với n = k + 1, vậy nó đúng cùng với n ∈ N*

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

*

Lời giải:

*

vì là hàng tăng đề xuất u1 = 2 2 3 n ∀n ∈ N*

=> un > 2 => (un) bị ngăn dưới.

Vì un = n + 1 > n ∀n ∈ N*

=> (un) không xẩy ra chặn trên. Vậy un không bị chặn.

*

=> u1 > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0

Và u1 > u2; u2 > u3; u3 > u4; …

Vậy hàng số (un ) ko tăng, không bớt => (un) không đối chọi điệu.

*

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết:

Lời giải:

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công không đúng d của các cấp số cùng (un), biết:

Lời giải:

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ giác ABCD có số đo của các góc lập thành một cấp cho số cộng theo sản phẩm tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính những góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D ( ∠A > 0) chế tạo thành cung cấp số cộng:

Vậy ∠B=∠A + d, ∠C=∠A + 2d, ∠D= ∠A+3d.

Theo trả thiết ta có:∠ C =5∠A => ∠A + 2 chiều = 5∠A 2d = 4∠A

Mặt không giống ∠A + B ∠ + C ∠ + ∠D =360o

=> ∠A + ∠A +d + ∠A +2d + ∠A +3d = 360o

4∠A + 12∠A = 360o  16∠A = 360o  ∠A= 22o30′, d=45o

Vậy ∠B = 67o30′; ∠C = 112o30’; ∠D = 157o30′

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng ba x, y, z lập thành một cung cấp số nhân và cha số x, 2y, 3z lập thành một cung cấp số cộng. Kiếm tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải:

Cấp số nhân (un) có công bội q rất có thể viết dưới dạng:

u1,u1q,u1q2,…,u1qn-1

vì x, y, z lập thành cung cấp số nhân nên: y = x.q, z = x.q2 (1)

Mặt khác x, 2y, 3z lập thành cung cấp số cộng đề xuất (x+3z)/2= 2y (2)

*

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta xây đắp một loại tháp có 11 tầng. Diện tích mặt phẳng trên của từng tầng bằng nửa diện tích của khía cạnh trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt phẳng trên của tầng một bởi nữa diện tích s đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12.288m2. Tính diện tích s mặt bên trên cùng.

Lời giải:

Gọi S là diện tích dưới mặt đáy của tháp

S = 12.288 m2

Gọi S1, S2, S3…S11 là diện tích bề mặt của từng tầng.

Diện tích của tầng một bởi nửa diện tích s của đáy tháp

*

Vậy diện tích s mặt trên cùng chính là diện tích tầng tháp sản phẩm 11 nên:

*

Bài 13 (trang 108 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp cho số cộng (a, b, c ≠ 0) thì những số 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

*

Đẳng thức (1) thỏa khi a2, b2, c2 là cấp số cộng.

*

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un), biết un = 3n. Nên lựa chọn phương án đúng:

a. Số hạng un+1 bằng:

A. 3n + 1

B. 3n + 3.

C. 3n.3

D. 3(n+1)

b. Số hạng u2n bằng:

A. 2.3n

B. 9n

C. 3n + 3

D. 6n

c. Số hạng un-1 bằng:

A. 3n – 1

B. 3n/3

C. 3n – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u2n-1 bằng:

A. 32.3n – 1

B. 3n.3n-1

C. 32n – 1

D. 32(n-1)

Lời giải:

a. Un+1 = 3n+1 = 3n.3.

Chọn giải đáp C

b. Un = 3n = (32)n = 9n.

Chọn đáp án B.

c. Un-1 = n-1 = 3n.3-1 = 3n/3 .

Chọn đáp án B.

d. U2n-1 = 32n-1 = 32n.3-1 = 3n.3n-1.

Chọn giải đáp B

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho biết dãy số (un) như thế nào dưới đó là dãy số tăng, trường hợp biết cách làm số hạng tổng quát un của nó là:

*

Lời giải:

Lập hiệu un+1 – un ta thấy : (-1)2(n+1) (5n+1+ 1) – ( -1)2n(5n + 1) 4.5n > 0

Vậy dãy ( -1)2n(5n + 1) là dãy số tăng. Chọn lời giải B.

Bài 16 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cấp số cùng – 2, x, 6, y. Hãy chọn tác dụng đúng vào các hiệu quả sau:

A. X = – 6, y = – 2

B. X = 1, y = 7

C.x = 2, y = 8

D. X = 2, y = 10

Lời giải:

*

Bài 17 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cung cấp số nhân – 4, x, – 9. Hãy họn tác dụng đúng trong công dụng sau:

A. X = 36

B. X = -6, 5

C. X = 6

D. X = -36

Lời giải:

*

Bài 18 (trang 109 SGK Đại số 11): Cho cung cấp số cộng (un). Nên chọn hệ thức đúng trong những hệ thức sau:

*

Lời giải:

Ta có: un là cấp cho số cộng số hạng đầu u1, công không đúng d thì:

u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d)

Vậy u90 + u210 = 2u150.

Xem thêm: Giải Bài 4 Trang 176 Sgk Toán 5 Luyện Tập Chung, Bài 4 Trang 176 Sgk Toán 5

Chọn lời giải B.

Bài 19 (trang 109 SGK Đại số 11): Trong các dãy số cho bởi các công thức tróc nã hồi sau, nên chọn các dãy số là cấp số nhân: