Phương pháp quy hấp thụ toán học tập thường được sử dụng để chứng minh các bài xích toán mang tính tổng quát. Đối với nhiều em học tập sinh, thì đó là dạng toán khó dù có quá trình hướng dẫn và cách thức chứng minh rất nắm thể.

Bạn đang xem: Phương pháp quy nạp toán học 11


Bài viết này, những em đã được trình làng với về cách thức quy nạp toán học với quá trình giải ví dụ và chi tiết, những ví dụ minh họa về phương pháp quy hấp thụ để những em dễ dàng nắm bắt hơn.

I. Phương thức quy nạp toán học

* bài toán:

Gọi P(n) là một trong mệnh đề chứa trở nên n (n ∈ N*). Chứng tỏ P(n) đúng với mọi số từ nhiên n ∈ N*.

* phương thức quy hấp thụ toán học

- cách 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.

- bước 2: Với k là một vài nguyên dương tùy ý, mang sử P(n) đúng với n = k ≥ 1, chứng minh P(n) cũng đúng lúc n = k + 1.

> Chú ý:

Đối với bài bác toán minh chứng P(n) đúng với tất cả n ≥ p với p là số tự nhiên cho trước thì:

- bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = p.

- cách 2: Với k ≥ p. Là một số nguyên dương tùy ý, đưa sử P(n) đúng cùng với n = k, chứng tỏ P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

II. Lấy ví dụ như về cách thức quy nạp

* lấy một ví dụ 1 (Câu hỏi 1 trang 80 SGK Toán 11 Đại số): Xét hai mệnh đề chứa biến hóa P(n): “3n n > n" với n ∈ N*.

a) cùng với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng tốt sai?

b) với đa số n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng giỏi sai?

> Lời giải:

a) Xét P(n) : “3n 1 1 = 3 2 2 = 9 3 3 = 27 4 4 = 81 5 5 = 243 > 5 + 100 = 105.

• Xét Q(n): "2n > n".

- cùng với n = 1, Q(1) trở thành: "21 > 1".

 Mệnh đề đúng vị 21 = 2 > 1.

- cùng với n = 2, Q(2) trở thành: "22 > 2".

 Mệnh đề đúng vì chưng 22 = 4 > 2.

- cùng với n = 3, Q(3) trở thành: "23 > 3".

 Mệnh đề đúng bởi vì 23 = 8 > 3.

- với n = 4, Q(4) trở thành: "24 > 4".

 Mệnh đề đúng vày 24 = 16 > 4.

- cùng với n = 5, Q(5) trở thành: "25 > 5".

 Mệnh đề đúng vì 25 = 32 > 5.

b) với tất cả n ∈ N* thì P(n), Q(n) thì dìm thấy

- P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).

- Q(n) luôn đúng với đa số n ∈ N*.

* ví dụ 2 (Câu hỏi 2 trang 81 SGK Toán 11 Đại số): Chứng minh rằng với n ∈ N* thì:

 

*

> Lời giải:

- khi n = 1 thi ta có: VT = 1.

 

*

⇒ VT = VP , cho nên đẳng thức đúng cùng với n = 1.

- mang sử đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là:

*

- Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng như với n = k + 1, tức là:

 

*

 - Từ đưa thiết quy hấp thụ ta có:

*

 

*

*

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*


* lấy ví dụ 3 (Câu hỏi 3 trang 82 SGK Toán 11 Đại số): Cho nhị số 3n và 8n với n ∈ N*.

a) so sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán công dụng tổng quát mắng và minh chứng bằng cách thức quy nạp

> Lời giải:

a) So sánh

 n = 1 ⇒ 31 = 3 2 = 9 3 = 27 > 24 = 8.3

 n = 4 ⇒ 34 = 81 > 32 = 8.4

 n = 5 ⇒ 35 = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán công dụng tổng quát: 3n > 8n với đa số n ≥ 3

- cùng với n = 3, bất đẳng thức đúng

- mang sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 3, nghĩa là: 3k > 8k

- Ta phải chứng tỏ rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

 3(k + 1) > 8(k + 1)

- thật vậy, từ trả thiết quy nạp ta có:

 3(k + 1) = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

 k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3(k + 1) > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với đa số n ≥ 3.

Trên đây jenincity.com đã trình làng với những em về phương pháp quy hấp thụ toán học, lấy một ví dụ về phương pháp quy nạp.

Xem thêm: Toán Lớp 5 Trang 106 Bài 2, Toán Lớp 5 Trang 106 Luyện Tập Chung

 Hy vọng nội dung bài viết giúp những em nắm rõ hơn. Giả dụ có thắc mắc hay góp ý các em hãy nhằm lại phản hồi dưới bài viết, chúc những em thành công.