MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm con số giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là các hằng số
*
*
là một hàm số lượng giác.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác thường gặp

Cách giải:Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình cho
*
, mang lại phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Xác minh nào sau đó là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với chúng ta nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số địa điểm điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

*
trên mặt đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó bao gồm 4 điểm màn biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên phố tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết phù hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình hàng đầu đối với
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc nhất đối với
*
*
là phương trình có dạng:

*


Cách giải:Điều kiện nhằm phương trình tất cả nghiệm:
*
.

Chia nhì vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi đó phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm toàn bộ các cực hiếm thực của
*
để phương trình gồm nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình tất cả nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không tồn tại giá trị nào của

*
để phương trình bao gồm nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào đk có nghiệm của phương trình

*
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình tất cả một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai so với một hàm con số giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác là phương trình bao gồm dạng:

*
trong đó
*
là các hằng số
*
*
là một hàm con số giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ với đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. Sau cùng đưa về giải những phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn điều kiện (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không bao gồm nghiệm trên khoảng
*
. Vì vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng
*
khi và chỉ còn khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc nhì đối với
*
*
là phương trình tất cả dạng:

*


Cách giải:
+ đánh giá xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, chia hai vế của phương trình cho
*
ta thu được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhì đối với

*
mà ta đã biết cách giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta làm như sau:
+ Đối cùng với phương trình phong cách bậc ba:
*

thì bí quyết giải cũng trọn vẹn tương trường đoản cú như trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề như thế nào sau đây là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu phân tách hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu phân tách 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình vẫn cho tương tự với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương với phương trình nào sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, vậy vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, phân chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, cầm vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Vày đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, phân chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

*
:

*
để phương trình sau tất cả nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, nuốm vào phương trình ta được:
*
. Phương trình bao gồm nghiệm khi còn chỉ khi
*
.Xét
*
, chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) có nghiệm
*
thì phương trình sẽ cho gồm nghiệm. Cho nên vì vậy có 2 cực hiếm nguyên của
*
thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình tất cả nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình gồm dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: Từ Điển Anh Việt " Irony Là Gì ? (Từ Điển Anh Nghĩa Của Từ Irony, Từ Irony Là Gì

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

*
ta có:

-->