Nội dung bài xích học giới thiệu đến những em những phương pháp giải phương trình mũ với phương trình lôgarit như đem về cùng cơ số, nón hóa, lôgarit hóa, để ẩn phụ, vận dụng đặc điểm hàm số. Thông phần đông ví dụ minh họa để giúp các em những bước đầu tiên biết phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit.

Bạn đang xem: Phương trình mũ và phương trình logarit


1. Video clip bài giảng

2. Bắt tắt lý thuyết

2.1. Các phương thức giải phương trình mũ

2.2. Các phương thức giải phương trình lôgarit

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 5 Chương 2 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm vềPhương trình mũ và phương trình lôgarit

4.2 bài xích tập SGK và nâng cấp về Phương trình mũ và phương trình lôgarit

5. Hỏi đáp về bài xích 5 Chương 1 Toán 12


*

a) cách thức đưa về thuộc cơ số

Với(0 b) cách thức lôgarit hóa

Với(0 c) phương thức đặt ẩn phụKiểu 1:Đặt ẩn đem đến phương trình theo 1 ẩn mớiDạng 1:(a.m^2f(x)+b.m^f(x)+c=0)Đặt(t=m^f(x) (t>0))Ta có:(a.t^2+b.t+c=0)Dạng 2:(a.m^f(x)+b.n^f(x)+c=0)trong đó(m.n=1)Đặt(t=n^f(x)Rightarrow m^f(x)=frac1t (t>0))Ta có:(a.frac1t + b.t + c = 0 Leftrightarrow a + b.t^2 + c.t = 0 Leftrightarrow b.t^2 + ct + a = 0).Dạng 3:(a.m^2f(x)+b.m^f(x).n^g(x)+c.n^2g(x)=0)Chia 2 vế cho(n^2g(x))ta có:(a.left (fracm^2f(x)n^2g(x) ight )^2+b.left (fracm^f(x)n^g(x) ight )^2+c=0)Đặt(t=fracm^f(x)n^g(x))Ta có(a.t^4+b.t^2+c=0).Kiểu 2:Đặt 1 ẩn, tuy vậy không làm mất đi ẩn ban đầu. Khi đóXem ẩn đầu là tham sốĐưa về phương trình tíchĐưa về hệ phương trìnhKiểu 3:Đặt những ẩn. Lúc đóĐưa về phương trình tíchĐưa về hệ phương trìnhd) phương pháp hàm sốXét hàm số(y=a^x):Nếu (a>1):(y=a^x)đồng trở thành trên(mathbbR.)Nếu (0Tổng của hai hàm số đồng trở nên (NB) trên D là hàm số đồng biến chuyển (NB) trên D.Tích của hai hàm số đồng biến chuyển và nhận cực hiếm dương trên D là hàm số đồng biến đổi trên D.Cho hàm số(f(x))và(g(x)), nếu:(f(x))đồng trở thành trên D.(g(x))​nghịch biến đổi trên D.

⇒ (f(x)-g(x))đồng trở nên trên D.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) phương pháp đưa về thuộc cơ số

Ví dụ:Giải phương trình (left( frac12 ight)^2x - 1 = 2^3x)

Ta có:

(eginarraylleft( frac12 ight)^2x - 1 = 2^3x\ Leftrightarrow 2^ - 2x + 1 = 2^3x\ Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x\ Leftrightarrow 1 = 5x\ Leftrightarrow x = frac15endarray)

b) phương thức mũ hóa

Với(0

c) cách thức đặt ẩn phụKiểu 1:Đặt 1 ẩn mang lại phương trình theo 1 ẩn mới.Kiểu 2:Đặt 1 ẩn dẫu vậy không làm mất ẩn ban đầu. Lúc đó, cách xử lý phương trình theo các cách sau:Xem ẩn lúc đầu là tham số.Đưa về phương trình tích.Kiểu 3:Đặt những ẩn. Khi đó, cách xử lý phương trình theo các cách sau:Đưa về phương trình tíchXem 1 ẩn là tham sốBiểu thức đồng bậc: đem lại phương trình theo 1 ẩn mới.d) phương thức hàm số

Các nội dung nên nhớ:

Xét hàm số(y = log _ax,(0 (a>1, y =log_a x)đồng trở thành trên((0;+infty )).​(0Xét nhị hàm số(f(x))và(g(x):)Nếu(f(x))và(g(x))là hai hàm số đồng trở nên (nghịch biến) trên tập D thì(f(x)+g(x))là hàm số đồng trở nên (nghịch biến) bên trên tập D.Nếu(f(x))và(g(x))là hai hàm số đồng biếntrên tập D và(f(x).g(x)>0)thì(f(x).g(x))là hàm số đồng vươn lên là trên tập D.Nếu (f(x)) đồng biến đổi trên D, (g(x))nghịch vươn lên là trên D:(f(x)-g(x))đồng biến hóa trên D.(f(x)-g(x))nghịch đổi thay trên D.Nếu hàm số(f(x))đồng trở nên trên Dvà(g(x))nghịch phát triển thành trên D thì phương trình(f(x)=g(x))có về tối đa một nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và minh chứng nghiệm duy nhất.Xét phương trình(f(x)=m): Nếu(f(x))đồng thay đổi (nghịch biến) trên Dthì phương trình tất cả tối nhiều 1 nghiệm.Khi đónhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình nón sau (Đưa về thuộc cơ số):

a)(2^x^2 + 3x - 2 = frac14)

b)(left( frac34 ight)^x - 1.sqrt left( frac43 ight)^frac8x = frac916)

Lời giải:

a)(2^x^2 + 3x - 2 = frac14 Leftrightarrow 2^x^2 + 3x - 2 = 2^ - 2)

(Leftrightarrow x^2 + 3x - 2 = - 2 Leftrightarrow x^2 + 3x = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = - 3 endarray ight.)

Vậy phương trình bao gồm hai nghiệm x=0 với x=-3.

b)(left( frac34 ight)^x - 1.sqrt left( frac43 ight)^frac8x = frac916)

(eginarrayl Leftrightarrow left( frac34 ight)^x - 1.left( frac43 ight)^frac4x = left( frac34 ight)^2\ Leftrightarrow left( frac34 ight)^x - 1.left( frac34 ight)^ - frac4x = left( frac34 ight)^2 endarray)

(Leftrightarrow x - 1 - frac4x = 2 Leftrightarrow left< eginarrayl x_1 = - 1\ x_2 = 3 endarray ight. Rightarrow x_1 + x_2 = 3).

Ví dụ 2:

Giải phương trình(3^x.2^x^2 = 1)(Dùng phương thức lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

(3^x.2^x^2 = 1 Leftrightarrow log _3(3^x.2^x^2) = log _31)

(Leftrightarrow x + x^2log _32 = 0 Leftrightarrow xleft( 1 + xlog _32 ight) = 0)

(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ 1 + xlog _32 = 0 endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = - frac1log _32 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = - log _23 endarray ight.)

Vậy phương trình gồm nghiệm:(x = 0,x = - log _23).

Ví dụ 3:

Giải những phương trình mũ sau (Dùng phương thức đặt ẩn phụ)

a)(3.25^x - 2.5^x + 1 + 7 = 0)

b)(4^x^2 + x + 2^1 - x^2 = 2^(x + 1)^2 - 1)

Lời giải:

a) Phương trình(Leftrightarrow 3.25^x - 10.5^x + 7 = 0). Đặt(t = 5^x,left( t > 0 ight))

Khi đó phương trình trở thành:(3t^2 - 10t + 7 = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl t = 1\ t = frac73 endarray ight.)

(*) Với(t = 1 Rightarrow 5^x = 1 Leftrightarrow x = 0)

(*) Với(t = frac73 Rightarrow 5^x = frac73 Leftrightarrow x = log _5left( frac73 ight))

Vậy phương trình gồm tập nghiệm:(S = left 0;log _5left( frac73 ight) ight\).

b) Đặt:(left{ eginarrayl u = 4^x^2 + x\ v = 2^1 - x^2 endarray ight.,,u,v > 0)

Nhận xét:(u.v = 4^x^2 + x.2^1 - x^2 = 2^2(x^2 + x).2^1 - x^2 = 2^(x + 1)^2)

Khi kia phương trình tương đướng với:

(u + v = uv + 1 Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl u = 1\ v = 1 endarray ight.)

(Leftrightarrow left< eginarrayl 4^x^2 + x = 1\ 2^1 - x^2 = 1 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x^2 + x = 0\ 1 - x^2 = 0 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarrayl x = 0\ x = 1\ x = - 1 endarray ight.).

Ví dụ 4:

a)(x + 2.3^log _2x = 3)

b)(2^x - 1 - 2^x^2 - x = (x - 1)^2)

Lời giải:

a) Điều kiện:(x>0)

(x + 2.3^log _2x = 3 Leftrightarrow 2.3^log _2x = 3 - x)(*)

Nhận xét:

+ Vế đề nghị của phương trình là 1 hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là 1 trong hàm số đồng biến.

Do vậy giả dụ phương trình tất cả nghiệm thì chính là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy:(x=1)là nghiệm của phương trình (*).

Vậy (x=1)là nghiệm độc nhất của phương trình.

b) Ta có:((x - 1)^2 ge 0 Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 ge 0 Leftrightarrow x^2 - x ge x - 1)

Suy ra:(2^x^2 - x ge 2^x - 1 Leftrightarrow 2^x - 1 - 2^x^2 - x le 0)(Do hàm số(y=2^t)đồng biến)

Vậy:(left{ eginarrayl VT le 0\ VP ge 0 endarray ight.)

Mà:(VT=VP)

Suy ra:(VT=VP=0)(Rightarrow left{ eginarrayl (x - 1)^2 = 0\ 2^x - 1 = 2^x^2 - x endarray ight. Leftrightarrow x = 1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất(x=1.)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình (log _3(9^50 + 6x^2) = log _sqrt 3 (3^50 + 2x))(Đưa về thuộc cơ số)

Lời giải:

Điều kiện:(3^50 + 2x > 0), lúc ấy ta có:

(log _3left( 9^50 + 6x^2 ight) = log _sqrt 3 left( 3^50 + 2x ight) Leftrightarrow log _3left( 9^50 + 6x^2 ight) = log _3left( 3^50 + 2x ight)^2)

(eginarrayl Leftrightarrow 9^50 + 6x^2 = left( 3^50 + 2x ight)^2\ Leftrightarrow 9^50 + 6x^2 = 9^50 + 2.2x.3^50 + 4x^2\ Leftrightarrow 2x^2 - 4x.3^50 = 0\ Leftrightarrow 2x(x - 2.3^50) = 0\ Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 2.3^50 endarray ight. endarray)

Ví dụ 6:

Giải phương trình(log _x^2 - 1left( 2sqrt 2 ight) = frac12)(Dùng phương thức mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện:(left{ eginarray*20l x^2 - 1 > 0\ x^2 - 1 e 1 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20l x 1\ x e pm sqrt 2 endarray ight.)

(eginarrayl log _x^2 - 1left( 2sqrt 2 ight) = frac12 Leftrightarrow 2sqrt 2 = left( x^2 - 1 ight)^frac12 = sqrt x^2 - 1 \ Leftrightarrow x^2 - 1 = 8 Leftrightarrow x = pm 3. endarray)

Vậy phương trình bao gồm hai nghiệm x=3 và x=-3.

Xem thêm: Power Of Attorney Là Gì - Định Nghĩa, Ví Dụ, Giải Thích

Ví dụ 7:

Giải phương trình (log _frac12^2x + 2log _sqrt 2 x = 5)(Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

(eginarrayl log _frac12^2x + 2log _sqrt 2 x = 5 Leftrightarrow m< - log _2x m>^2 + 4mathop m log_2x olimits = 5\ Leftrightarrow log _2^2x + 4log_2 x = 5 endarray)

Đặt:(t = log _2x.)Phương trình trở thành:

(t^2 + 4t - 5 = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl t = - 5\ t = 1 endarray ight. Rightarrow left< eginarray*20c log _2x = - 5\ log _2x = 1 endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 2^ - 5\ x = 2 endarray. ight.)

Vậy phương trình bao gồm hai nghiệm: (x=2)và(x=frac132).

Ví dụ 8:

Giải phương trình(log _2(x^2 - 4) + x = log _2left< 8(x + 2) ight>)(Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện:(left{ eginarrayl x^2 - 4 > 0\ x + 2 > 0 endarray ight. Leftrightarrow x > 2.)

Khi đó:(eginarrayl log _2(x^2 - 4) + x = log _2left< 8(x + 2) ight>\ Leftrightarrow log _2(x^2 - 4) - log _2(x + 2) = 3 - x\ Leftrightarrow log _2fracx^2 - 4x + 2 = 3 - x\ Leftrightarrow log _2left( x - 2 ight) = 3 - x endarray)