Trong quy trình học tập môn Toán trong công tác phổ thông, các em sẽ khá thân thuộc với các phương pháp tính diện tích cùng thể tích của một đối tượng bằng phương pháp xác định những yếu tố tương quan đến đối tượng người dùng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi mày mò khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương thức mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật dụng thể, thể tích khối tròn xoay chỉ trải qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Bạn đang xem: Ứng dụng của tích phân trong hình học


1. Video bài giảng

2. Nắm tắt lý thuyết

2.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích s hình phẳng

2.2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

2.3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

3. Bài bác tập minh hoạbài 3 Chương 3 Toán 12

4. Rèn luyện Bài 3 Chương 3 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm về Ứng dụng của tích phân vào hình học

4.2 bài bác tập SGK và nâng cấp vềỨng dụng của tích phân trong hình học

5. Hỏi đáp về bài 3 Chương 3 Toán 12


*

Nếu hàm số (y=f(x))liên tục bên trên ()thì diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến phố thẳng (x=a,x=b)là (S = intlimits_a^b left .)

*

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đồ thị hàm số (y = f(x)), (y = g(x))và hai tuyến phố thẳng (x=a,x=b)là:(S = intlimits_a^b f(x) - g(x) ight)

*


Thể tích thiết bị thể B số lượng giới hạn bởi nhị mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại những điểm (a,b)là (V = intlimits_a^b S(x)dx.)Trong kia S(x) là diện tích thiết diện của đồ thể bị cắt do mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại điểm tất cả hoành độ là (x in left< a;,b ight>)và S(x) là 1 trong những hàm liên tục.

*


Hàm số (y=f(x))liên tục cùng không âm trên (.)Hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến phố thẳng (x=a,x=b)quay quanh trục hoành tạo cho một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi bí quyết (V = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .)

*

Cho nhị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))thỏa (0leq g(x)leq f(x)), liên tục và ko âm trên(.)Hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))và hai tuyến đường thẳng(x=a,x=b)quay xung quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Cho nhì hàm số hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số (y=f(x))và(y=g(x))​ quay quanh trục hoành hoành làm cho một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta triển khai các bước:Giải phương trình(f(x) = g(x) Leftrightarrow left< eginarrayl x = a\ x = b endarray ight.)(Thường dạng bài này đề bài xích cho phương trình hoành độ giao điểm gồm hai nghiệm phân biệt).Giải sử(0leq g(x)leq f(x))với rất nhiều x thuộc(.)Khi đó:(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (x = g(y)), trục tung và hai tuyến đường thẳng (y = c,,y = d)quay xung quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_c^d g^2(y)dy.)

Tính diện tíchtích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường cong(y = x^3,)trục hoànhvà hai tuyến đường thẳng (x = - 1,x = 2.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của con đường cong(y = x^3)và trục hoành:

Diện tích hình phẳng đề nghị tính:

(S = intlimits_ - 1^0 x^3 ight)(= left. - fracx^44 ight|_ - 1^0 + left. fracx^44 ight|_0^2 = frac174)

Ví dụ 2:

Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số(y = left( e + 1 ight)x)và(y=(1+e^x)x.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai tuyến phố cong là:(left( e + 1 ight)x = left( 1 + e^x ight)x Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ e^x = e endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Nhận xét, cùng với (x in left< 0;1 ight>)thì hiệu số (left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x = xleft( e^x - e ight) > 0.)

Khi đó, diện tích s hình phẳng đề xuất tìm là (S = intlimits_0^1 left dx = intlimits_0^1 xleft( e^x - e ight) ight)

Đặt (left{ {eginarray*20c u = x\ dv = left( e - e^x ight)dx endarray Rightarrow left eginarray*20c du = dx\ v = ex - e^x endarray ight. ight.)

( Rightarrow S = xleft( ex - e^x ight)left)(= left( - fracex^22 + e^x ight)left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. = frace - 22.)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần đồ thể số lượng giới hạn bởi nhì mặt phẳng (x=0)và (x=3), gồm thiết diện bị cắt vì chưng mặt phẳng vuông góc với trục (Ox)tại điểm tất cả hoành độ (xleft( 0 le x le 3 ight))là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng (x)và (2sqrt 9 - x^2.)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật gồm hai cạnh là (x;2sqrt 9 - x^2)là (2xsqrt 9 - x^2)

Khi đó, thể tích của đồ gia dụng thể được xác định bằng công thức (V = intlimits_0^3 2xsqrt 9 - x^2 dx)

Đặt (t = sqrt 9 - x^2 Leftrightarrow t^2 = 9 - x^2 Leftrightarrow xdx = - tdt)và (left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow t = 3\ x = 3 Rightarrow t = 0 endarray ight.)

Suy ra (V = - 2intlimits_3^0 t^2dt = frac2t^33left| eginarray*20c 3\ 0 endarray ight. = 18.)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳnggiới hạn vì đồ thị hàm số (y = 2x - x^2)và (y = x)quay xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ vật thị hàm số(y = 2x - x^2) và mặt đường thẳng(y=x)là (2x - x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay đề xuất tìm là (V = pi intlimits_0^1 left = pi intlimits_0^1 x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)

(Rightarrow V = left| pi intlimits_0^1 left( x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)dx ight| = pi left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. ight| = fracpi 5.)


Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, những em vẫn khá quen thuộc với các phương thức tínhdiện tích cùng thể tíchcủa một đối tượng bằng cách xác định những yếu tố tương quan đến đối tượng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi mày mò khái niệmTích phâncác em sẽ tiến hành tiếp cận một phương pháp mới nhằm tínhdiện tích hình phẳng,thể tích của vật thể,thể tích khối tròn xoaychỉ trải qua các hàm số làỨng dụng tích phân.


Để cũng cố bài học xin mời những em cũng làm bài bác kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 bài bác 3 để kiểm soát xem mình đã nắm được nội dung bài học kinh nghiệm hay chưa.


Câu 1:Cho đồ gia dụng thị hàm số y = f(x). Xác minh công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) vào hình.


A.(S = intlimits_ - 2^3 fleft( x ight)dx)B.(S = intlimits_0^ - 2 fleft( x ight)dx + intlimits_2^3 fleft( x ight)dx)C.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_3^0 fleft( x ight)dx)D.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_0^3 fleft( x ight)dx)

Câu 2:

Tính diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (y = x^4 - 5x^2 + 4), trục hoành và hai tuyến đường thẳng(x = 0;x = 1).


Câu 3:

Tính diện tích s S của hình phẳng giởi hạn bởi vì đồ thị hàm số(y = x^3 - x)và đồ gia dụng thị hàm số(y = x^2 - x.)


A.(S = frac116)B.(S = frac112)C.(S = frac18)D.(S = frac14)

Câu 4-10:Mời các em singin xem tiếp văn bản và thi test Online để củng cố kỹ năng và nắm rõ hơn về bài học kinh nghiệm này nhé!


Bên cạnh đó các em rất có thể xem phần gợi ý Giải bài xích tập Toán 12 Chương 3 bài 3sẽ giúp các em cố gắng được các cách thức giải bài bác tập từ SGKGiải tích 12Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Cdio Là Gì - Những Tiêu Chuẩn Chung Đánh Giá Của Cdio

bài xích tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

bài xích tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12

bài xích tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12 NC

bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12

bài xích tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12

bài xích tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12

bài bác tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12

bài xích tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12

bài xích tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12

bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

bài bác tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12


Nếu có vướng mắc cần giải đáp những em rất có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 đang sớm trả lời cho những em.